Calcule a integral.
Passo 1
Olááá, tudo bem??
Nessa questão vamos trabalhar com técnicas de integração e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses métodos.
De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função que é conhecida como sendo a primitiva de .
Algumas funções simples já tem suas primitivas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A técnica apresentada aqui é aplicada para ambos os casos.
- Integração por partes
O método da integração por partes está relacionado com a regra do produto para derivadas. Caso não lembre da fórmula, aqui vai uma rápida dedução. Primeiro aplicar a integral em todos os termos
A integral da derivada se anula ficando apenas e, isolando o último termo, temos
Para simplificar a resolução, às vezes, é necessário fazer a substituição de alguns termos por uma variável singular. Deve-se ter atenção tanto na substituição do termo e sua derivada, assim como quando desfazer a substituição.
Passo 2
Analisando a integral, pode-se observar que ela é uma integral indefinida (não possui intervalos de integração) e é composta por um produto de funções: e . Para simplificar a resolução da integral, vamos aplicar método da substituição em que será substituída por uma variável mais simples denominada, arbritariamente, u.
Para que seja possível a troca na integral, faremos
Fazendo a substituição na integral,
Vamos aplicar o método de integração por partes,
Assim,
Desfazendo a substituição,
Logo,
Até a próxima! =]