Calcule a integral.

int x^2 s e n ( 4 x ) d x

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com técnicas de integração e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses métodos.

De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função f que é conhecida como sendo a primitiva de f .

Algumas funções simples já tem suas primitivas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A técnica apresentada aqui é aplicada para ambos os casos.

  • Integração por partes

O método da integração por partes está relacionado com a regra do produto para derivadas. Caso não lembre da fórmula, aqui vai uma rápida dedução. Primeiro aplicar a integral em todos os termos

int (f g)^' = int g d f + int f d g

A integral da derivada se anula ficando apenas f g e, isolando o último termo, temos

int f d g = f g - int g d f

Para simplificar a resolução, às vezes, é necessário fazer a substituição de alguns termos por uma variável singular. Deve-se ter atenção tanto na substituição do termo e sua derivada, assim como quando desfazer a substituição.

Passo 2

Analisando a integral, pode-se observar que ela é uma integral indefinida (não possui intervalos de integração) e é composta por um produto de funções: x^2 e s e n ( 4 x ) . Tendo isso mente, vamos denominar f , g , d f e d g

f = x^2 ; d f = 2 x d x

d g = s e n (4 x) ; g = - (1)/(4) c o s ( 4 x )

Assim,

int x^2 s e n ( 4 x ) d x = - (1)/(4) c o s ( 4 x ) x^2 - int - (1)/(4) c o s ( 4 x ) 2 x d x

int x^2 s e n ( 4 x ) d x = - (1)/(4) c o s ( 4 x ) x^2 - (2)/(4) int - c o s ( 4 x ) 2 x d x

Passo 3

Para resolver a segunda integral, vamos aplicar método da substituição em que 4 x será substituída por uma variável mais simples denominada, arbritariamente, u.

u = 4 x ; d u = 4 d x

Para que seja possível a troca na integral, faremos

(u)/(4) = x ; (1)/(4) d u = d x

Fazendo a substituição na integral,

int - (u c o s ( u ))/(16) d u

- (1)/(16) int u c o s ( u ) d u

Vamos aplicar novamente o método de integração por partes,

f = u ; d f = 1 d u

d g = s e n ( u ) d u ; g = c o s ( x )

Assim,

- (1)/(16) (u s e n ( u ) - int s e n ( u ) d u)

- (1)/(16) ( u s e n ( u ) - ( - cos (u) ) )

- (1)/(16) ( u s e n (u) + cos (u) )

Desfazendo a substituição,

- (1)/(16) ( 4 x s e n (4 x) + cos (4 x) )

Passo 4

Retornando a equação inicial,

int x^2 s e n ( 4 x ) d x = - (1)/(4) c o s ( 4 x ) x^2 - (2)/(4) int - c o s ( 4 x ) 2 x d x

= - (1)/(4) c o s ( 4 x ) x^2 - (2)/(4) (- (1)/(16) ( 4 x s e n (4 x) + c o s ( 4 x ) ))

= - (1)/(4) c o s ( 4 x ) x^2 - (- (1)/(32) (4 x s e n (4 x) + c o s (4 x)))

= - (1)/(4) cos (4 x) x^2 + (1)/(32) (4 x s e n (4 x) + c o s (4 x))

Logo,

int x^2 s e n ( 4 x ) d x = - (1)/(4) cos (4 x) x^2 + (1)/(32) (4 x s e n (4 x) + c o s (4 x)) + C

Até a próxima! =]

Resposta

- (1)/(4) c o s (4 x) x^2 + (1)/(32) ( 4 x s e n ( 4 x ) + c o s ( 4 x ) ) + C