Calcule a integral.

int sqrt(x) l n ( x ) d x

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com técnicas de integração e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses métodos.

De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função f que é conhecida como sendo a primitiva de f .

Algumas funções simples já tem suas primitivas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A técnica apresentada aqui é aplicada para ambos os casos.

  • Integração por partes

O método da integração por partes está relacionado com a regra do produto para derivadas. Caso não lembre da fórmula, aqui vai uma rápida dedução. Primeiro aplicar a integral em todos os termos

int (f g)^' = int g d f + int f d g

A integral da derivada se anula ficando apenas f g e, isolando o último termo, temos

int f d g = f g - int g d f

Para simplificar a resolução, às vezes, é necessário fazer a substituição de alguns termos por uma variável singular. Deve-se ter atenção tanto na substituição do termo e sua derivada, assim como quando desfazer a substituição.

Passo 2

Analisando a integral, pode-se observar que ela é uma integral indefinida (não possui intervalos de integração) e é composta por um produto de funções: sqrt(x) e l n ( x ) . Tendo isso mente, vamos denominar f , g , d f e d g

f = l n ( x ) ; d f = (1)/(x) d x

d g = sqrt(x) = x^((1)/(2)) ; g = (2)/(3) x^((3)/(2)) d x

Assim,

int sqrt(x) ln (x) d x = (2)/(3) x^((3)/(2)) l n (x) - int (2)/(3) x^((3)/(2)) xx (1)/(x) d x

= (2)/(3) x^((3)/(2)) l n ( x ) - (2)/(3) int x^((3)/(2)) x^(- 1) d x

= (2)/(3) x^((3)/(2)) l n ( x ) - (2)/(3) int x^((1)/(2)) d x

A integral do segundo termo é conhecida e podemos resolvê-la diretamente,

= (2)/(3) x^((3)/(2)) l n ( x ) - (2)/(3) ((2)/(3) x^((3)/(2)))

Logo,

int sqrt(x) l n ( x ) d x = (2)/(3) x^((3)/(2)) l n ( x ) - (4)/(9) x^((3)/(2)) + C

Até a próxima! =]

Resposta

(2)/(3) x^((3)/(2)) l n ( x ) - (4)/(9) x^((3)/(2)) + C