Calcule a integral.

int x^2 e^(3 x) d x

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com técnicas de integração e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses métodos.

De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função f que é conhecida como sendo a primitiva de f .

Algumas funções simples já tem suas primitivas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A técnica apresentada aqui é aplicada para ambos os casos.

  • Integração por partes

O método da integração por partes está relacionado com a regra do produto para derivadas. Caso não lembre da fórmula, aqui vai uma rápida dedução. Primeiro aplicar a integral em todos os termos

int (f g)^' = int g d f + int f d g

A integral da derivada se anula ficando apenas f g e, isolando o último termo, temos

int f d g = f g - int g d f

Para simplificar a resolução, às vezes, é necessário fazer a substituição de alguns termos por uma variável singular. Deve-se ter atenção tanto na substituição do termo e sua derivada, assim como quando desfazer a substituição.

Passo 2

Analisando a integral, pode-se observar que ela é uma integral indefinida (não possui intervalos de integração) e é composta por um produto de funções: x^2 e e^(3 x) . Tendo isso mente, vamos denominar f , g , d f e d g

f = x^2 ; d f = 2 x d x

d g = e^(3 x) ; g = (1)/(3) e^(3 x)

Assim,

int x^2 e^(3 x) d x = (1)/(3) e^(3 x) x^2 - int (1)/(3) e^(3 x) 2 x d x

int x^2 e^(3 x) d x = (1)/(3) e^(3 x) x^2 - (2)/(3) int e^(3 x) x d x

Passo 3

Para resolver a segunda integral, vamos aplicar método da substituição em que 3 x será substituída por uma variável mais simples denominada, arbritariamente, u.

u = 3 x ; d u = 3 d x

Para que seja possível a troca na integral, faremos

(u)/(3) = x ; (1)/(3) d u = d x

Fazendo a substituição na integral,

int (1)/(9) e^u u d u

Vamos aplicar novamente o método de integração por partes,

f = u ; d f = 1 d u

d g = e^u d u ; g = e^u

Assim,

(1)/(9) (e^u u - int e^u d u)

(1)/(9) ( e^u u - e^u )

Desfazendo a substituição,

(1)/(9) ( e^(3 x) 3 x - e^(3 x) )

Passo 4

Retornando a equação inicial,

int x^2 e^(3 x) d x = (1)/(3) e^(3 x) x^2 - (2)/(3) int e^(3 x) x d x

= (1)/(3) e^(3 x) x^2 - (2)/(3) ((1)/(9) (e^(3 x) 3 x - e^(3 x)))

= (1)/(3) e^(3 x) x^2 - (2)/(27) (e^(3 x) 3 x - e^(3 x))

Logo,

int x^2 e^(3 x) d x = (1)/(3) e^(3 x) x^2 - (2)/(27) (e^(3 x) 3 x - e^(3 x)) + C

Até a próxima! =]

Resposta

(1)/(3) e^(3 x) x^2 - (2)/(27) ( e^(3 x) 3 x - e^(3 x) ) + C