Calcule a integral.

int s e n (x) l n ( c o s (x) ) d x

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com técnicas de integração e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses métodos.

De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função f que é conhecida como sendo a primitiva de f .

Algumas funções simples já tem suas primitivas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A técnica apresentada aqui é aplicada para ambos os casos.

  • Integração por partes

O método da integração por partes está relacionado com a regra do produto para derivadas. Caso não lembre da fórmula, aqui vai uma rápida dedução. Primeiro aplicar a integral em todos os termos

int (f g)^' = int g d f + int f d g

A integral da derivada se anula ficando apenas f g e, isolando o último termo, temos

int f d g = f g - int g d f

Para simplificar a resolução, às vezes, é necessário fazer a substituição de alguns termos por uma variável singular. Deve-se ter atenção tanto na substituição do termo e sua derivada, assim como quando desfazer a substituição.

Passo 2

Analisando a integral, pode-se observar que ela é uma integral indefinida (não possui intervalos de integração) e é composta por um produto de funções: l n ( cos (x) ) , c o s ( x ) e s e n ( x ) . Para simplificar a resolução da integral, vamos aplicar método da substituição em que c o s ( x ) será substituída por uma variável mais simples denominada, arbitrariamente, u.

u = c o s ( x ) ; d u = - s e n ( x ) d x

Para que seja possível a troca na integral, faremos

- d u = s e n ( x ) d x

Fazendo a substituição na integral,

- int l n ( u ) d u

Aplicando a integração por partes,

f = l n ( u ) ; d f = (1)/(u) d u

d g = 1 d u ; g = u

Assim,

- int ln (u) d u = - u l n ( u ) - int - (1)/(u) u d u

= - u l n (u) + int 1 d u

= - u l n (u) + u

Passo 3

Desfazendo a substituição,

int s e n (x) l n ( c o s (x) ) = - cos (x) ln (cos (x)) + cos (x) + C

Até a próxima! =]

Resposta

- c o s ( x ) l n ( c o s ( x ) ) + c o s ( x ) + C