Calcule a integral.

int e^(3 x) c o s ( 2 x ) d x

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com técnicas de integração e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses métodos.

De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função f que é conhecida como sendo a primitiva de f .

Algumas funções simples já tem suas primitivas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A técnica apresentada aqui é aplicada para ambos os casos.

  • Integração por partes

O método da integração por partes está relacionado com a regra do produto para derivadas. Caso não lembre da fórmula, aqui vai uma rápida dedução. Primeiro aplicar a integral em todos os termos

int (f g)^' = int g d f + int f d g

A integral da derivada se anula ficando apenas f g e, isolando o último termo, temos

int f d g = f g - int g d f

Para simplificar a resolução, às vezes, é necessário fazer a substituição de alguns termos por uma variável singular. Deve-se ter atenção tanto na substituição do termo e sua derivada, assim como quando desfazer a substituição.

Passo 2

Analisando a integral, pode-se observar que ela é uma integral indefinida (não possui intervalos de integração) e é composta por um produto de funções: c o s ( 2 x ) e e^(3 x) . Tendo isso mente, vamos denominar f , g , d f e d g

f = e^(3 x) ; d f = 3 e^(3 x) d x

d g = (1)/(2) s e n ( 2 x ) ; g = c o s ( 2 x ) d x

Assim,

int e^(3 x) c o s ( 2 x ) d x = (1)/(2) s e n ( 2 x ) e^(3 x) - int (3)/(2) e^(3 x) s e n ( 2 x ) d x

= (1)/(2) s e n ( 2 x ) e^(3 x) - (3)/(2) int e^(3 x) s e n ( 2 x ) d x

Passo 3

Para a integração da segunda integral, vamos aplicar novamente a integração por partes

f = e^(3 x) ; d f = 3 e^(3 x) d x

d g = - (1)/(2) c o s ( 2 x ) ; g = s e n ( 2 x ) d x

Assim,

int e^(3 x) s e n ( 2 x ) d x = - (1)/(2) c o s (2 x) e^(3 x) + (3)/(2) int e^(3 x) c o s ( 2 x ) d x

Passo 4

Retornando a integral inicial,

int e^(3 x) c o s ( 2 x ) d x = (1)/(2) s e n ( 2 x ) e^(3 x) - (3)/(2) (- (1)/(2) c o s (2 x) e^(3 x) + (3)/(2) int e^(3 x) c o s ( 2 x ) d x)

Observe que encontramos novamente a integral inicial e podemos concluir que não vale a pena integrar novamente. Para encerrarmos a questão, vamos isolar a integral int e^(3 x) c o s ( 2 x ) d x no lado esquerdo da igualdade

(13)/(4) int e^(3 x) c o s ( 2 x ) d x = (1)/(2) s e n (2 x) e^(3 x) + (3)/(4) c o s (2 x) e^(3 x)

int e^(3 x) c o s ( 2 x ) d x = (2 s e n (2 x) e^(3 x))/(13) + (3 c o s (2 x) e^(3 x))/(13) + C

Até a próxima! =]

Resposta

(2 s e n (2 x) e^(3 x))/(13) + (3 c o s (2 x) e^(3 x))/(13) + C