Calcule a integral.

int x^3 e^(- x) d x

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com técnicas de integração e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses métodos.

De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função f que é conhecida como sendo a primitiva de f .

Algumas funções simples já tem suas primitivas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A técnica apresentada aqui é aplicada para ambos os casos.

  • Integração por partes

O método da integração por partes está relacionado com a regra do produto para derivadas. Caso não lembre da fórmula, aqui vai uma rápida dedução. Primeiro aplicar a integral em todos os termos

int (f g)^' = int g d f + int f d g

A integral da derivada se anula ficando apenas f g e, isolando o último termo, temos

int f d g = f g - int g d f

Para simplificar a resolução, às vezes, é necessário fazer a substituição de alguns termos por uma variável singular. Deve-se ter atenção tanto na substituição do termo e sua derivada, assim como quando desfazer a substituição.

Passo 2

Analisando a integral, pode-se observar que ela é uma integral indefinida (não possui intervalos de integração) e é composta por um produto de funções: x^3 e e^(- x) . Para simplificar a resolução da integral, vamos aplicar método da substituição em que - x será substituída por uma variável mais simples denominada, arbitrariamente, u.

u = - x ; d u = - 1 d x

Para que seja possível a troca na integral, faremos

- u = x ; - d u = d x

Fazendo a substituição na integral,

int u^3 e^u d u

Vamos aplicar o método de integração por partes,

f = u^3 ; d f = 3 u^2 d u

d g = e^u d u ; g = e^u

Assim,

int u^3 e^u d u = u^3 e^u - int 3 u^2 e^u d u

int u^3 e^u d u = u^3 e^u - 3 int u^2 e^u d u

Passo 3

Aplicando a integração por parte na segunda integral

f = u^2 ; d f = 2 u d u

d g = e^u d u ; g = e^u

int u^2 e^u d u = u^2 e^u - int 2 u e^u d u

int u^2 e^u d u = u^2 e^u - 2 int u e^u d u

Passo 4

Novamente aplicando a integração por parte na segunda integral porque ainda é possível fazer essa integração

f = u ; d f = 1 d u

d g = e^u d u ; g = e^u

int u e^u d u = u e^u - int e^u d u

= u e^u - e^u

Passo 5

Retornando a integral anterior,

int u^2 e^u d u = u^2 e^u - 2 int u e^u d u

= u^2 e^u - 2 ( u e^u - e^u )

Passo 6

Retornando a integral inicial,

int u^3 e^u d u = u^3 e^u - 3 int u^2 e^u d u

= u^3 e^u - 3 ( u^2 e^u - 2 ( u e^u - e^u ) )

Passo 7

Desfazendo a substituição

= ( - x )^3 e^(- x) - 3 ( (- x)^2 e^(- x) - 2 ( ( - x ) e^(- x) - e^(- x) ) )

Simplificando a equação

int x^3 e^(- x) d x = - x^3 e^(- x) - 3 ( x^2 e^(- x) - 2 ( - x e^(- x) - e^(- x) ) ) + C

Até a próxima! =]

Resposta

- x^3 e^(- x) - 3 ( x^2 e^(- x) - 2 ( - x e^(- x) - e^(- x) ) ) + C