Calcule a integral

int_()^() ( 2 t^3 - t^2 + 3 t - 7 ) d t

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com antiderivada e integração indefinida e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses conceitos.

De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função f que é conhecida como sendo a antiderivada de f ' .

I = int_()^() f ' ( x ) d x = f (x) + C

Para alguma constante C e todo x no intervalo de I .

Algumas funções simples já tem suas antiderivadas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A seguir, temos algumas propriedades:

(i) int_()^() c f (x) d x = c int_()^() f (x) d x p a r a q u a l q u e r c o n s t a n t e c

(i i) int_()^() [f (x) + g (x)] d x = int_()^() f (x) d x + int_()^() g (x) d x

(i i i) int_()^() [f (x) - g (x)] d x = int_()^() f (x) d x - int_()^() g (x) d x

Passo 2

A integral dada pelo enunciado é uma integral indefinida (não possui intervalos de integração) e é composta por soma e subtração de funções: 2 t^3 , t^2 , 3 t e 7 . A resolução de integrais desse tipo se dá pela regra da potência que nos diz que

int_()^() a x^n d x = a ((x^(n + 1))/(n + 1)) + C

Sendo a uma constante qualquer e n = 0 , 1 , 2 ... o valor da potência.

int_()^() (2 t^3 - t^2 + 3 t - 7) d t = int_()^() 2 t^3 d t - int_()^() t^2 d t + int_()^() 3 t d t - int_()^() 7 d t

= int_()^() 2 t^3 d t - int_()^() t^2 d t + int_()^() 3 t^1 d t - int_()^() 7 t^0 d t

= [2 ((t^(3 + 1))/(3 + 1)) - ((t^(2 + 1))/(2 + 1)) + 3 ((t^(1 + 1))/(1 + 1)) - 7 ((t^(0 + 1))/(0 + 1))] + C

= (2 t^4)/(4) - t^3 + (3 t^2)/(2) - (7 t^1)/(1) + C

Logo,

int_()^() (2 t^3 - t^2 + 3 t - 7) d t = (t^4)/(2) - t^3 + (3 t^2)/(2) - 7 t + C

Até a próxima! =]

Resposta

(t^4)/(2) - t^3 + (3 t^2)/(2) - 7 t + C