Calcule a integral

int_()^() (2 x^2 - x + 3)/(sqrt(x)) d x

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com antiderivada e integração indefinida e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses conceitos.

De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função f que é conhecida como sendo a antiderivada de f ' .

I = int_()^() f ' ( x ) d x = f (x) + C

Para alguma constante C e todo x no intervalo de I .

Algumas funções simples já tem suas antiderivadas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A seguir, temos algumas propriedades:

(i) int_()^() c f (x) d x = c int_()^() f (x) d x p a r a q u a l q u e r c o n s t a n t e c

(i i) int_()^() [f (x) + g (x)] d x = int_()^() f (x) d x + int_()^() g (x) d x

(i i i) int_()^() [f (x) - g (x)] d x = int_()^() f (x) d x - int_()^() g (x) d x

Passo 2

A integral dada pelo enunciado é uma integral indefinida (não possui intervalos de integração) e apresenta uma divisão de funções: 2 x^2 - x + 3 e sqrt(x) . A resolução de integrais desse tipo se dá pela regra da potência que nos diz que

int_()^() a x^n d x = a ((x^(n + 1))/(n + 1)) + C

Sendo a uma constante qualquer e n = 0 , 1 , 2 ... o valor da potência. Para facilitar a resolução, vamos expandir a função.

int_()^() (2 x^2 - x + 3)/(sqrt(x)) d x = int_()^() (2 x^2)/(sqrt(x)) - (x)/(sqrt(x)) + (3)/(sqrt(x)) d x

= int_()^() (2 x^2)/(x^((1)/(2))) - (x^1)/(x^((1)/(2))) + (3 x^0)/(x^((1)/(2))) d x

= int_()^() 2 x^((3)/(2)) - x^((1)/(2)) + 3 x^(- (1)/(2)) d x

= int_()^() 2 x^((3)/(2)) d x - int_()^() x^((1)/(2)) d x + int_()^() 3 x^(- (1)/(2)) d x

= 2 int_()^() x^((3)/(2)) d x - int_()^() x^((1)/(2)) d x + 3 int_()^() x^(- (1)/(2)) d x

= [2 ((x^((3)/(2) + 1))/((3)/(2) + 1)) - ((x^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1)) + 3 ((x^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1))] + C

= (2 x^((5)/(2)))/((5)/(2)) - (x^((3)/(2)))/((3)/(2)) + (3 x^((1)/(2)))/((1)/(2)) + C

Logo,

int_()^() (2 x^2 - x + 3)/(sqrt(x)) d x = (4 x^((5)/(2)))/(5) - (2 x^((3)/(2)))/(3) + 6 x^((1)/(2)) + C

Até a próxima! =]

Resposta

(4 x^((5)/(2)))/(5) - (2 x^((3)/(2)))/(3) + 6 x^((1)/(2)) + C