Calcule a integral

int_()^() ((4)/(z^7) - (7)/(z^4) + z) d z

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com antiderivada e integração indefinida e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses conceitos.

De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função f que é conhecida como sendo a antiderivada de f ' .

I = int_()^() f ' ( x ) d x = f (x) + C

Para alguma constante C e todo x no intervalo de I .

Algumas funções simples já tem suas antiderivadas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A seguir, temos algumas propriedades:

(i) int_()^() c f (x) d x = c int_()^() f (x) d x p a r a q u a l q u e r c o n s t a n t e c

(i i) int_()^() [f (x) + g (x)] d x = int_()^() f (x) d x + int_()^() g (x) d x

(i i i) int_()^() [f (x) - g (x)] d x = int_()^() f (x) d x - int_()^() g (x) d x

Passo 2

A integral dada pelo enunciado é uma integral indefinida (não possui intervalos de integração) e é composta por soma e subtração de funções: (4)/(z^7) , (7)/(z^4) e z . A resolução de integrais desse tipo se dá pela regra da potência que nos diz que

int_()^() a x^n d x = a ((x^(n + 1))/(n + 1)) + C

Sendo a uma constante qualquer e n = 0 , 1 , 2 ... o valor da potência.

int_()^() ((4)/(z^7) - (7)/(z^4) + z) d z = int_()^() (4)/(z^7) d z - int_()^() (7)/(z^4) d z + int_()^() z d z

= int_()^() 4 z^(- 7) d z - int_()^() 7 z^(- 4) d z + int_()^() z^1 d z

= [4 ((z^(- 7 + 1))/(- 7 + 1)) - 7 ((z^(- 4 + 1))/(- 4 + 1)) + ((z^(1 + 1))/(1 + 1))] + C

= (4 z^(- 6))/(- 6) - ((7 z^(- 3))/(- 3)) + (z^2)/(2) + C

Logo,

int_()^() ((4)/(z^7) - (7)/(z^4) + z) d z = - (2)/(3 z^6) + (7)/(3 z^3) + (z^2)/(2) + C

Até a próxima! =]

Resposta

- (2)/(3 z^6) + (7)/(3 z^3) + (z^2)/(2) + C