Calcule a integral

int_()^() (x^3 - 1)/(x - 1) d x

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com antiderivada e integração indefinida e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses conceitos.

De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função f que é conhecida como sendo a antiderivada de f ' .

I = int_()^() f ' ( x ) d x = f (x) + C

Para alguma constante C e todo x no intervalo de I .

Algumas funções simples já tem suas antiderivadas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A seguir, temos algumas propriedades:

(i) int_()^() c f (x) d x = c int_()^() f (x) d x p a r a q u a l q u e r c o n s t a n t e c

(i i) int_()^() [f (x) + g (x)] d x = int_()^() f (x) d x + int_()^() g (x) d x

(i i i) int_()^() [f (x) - g (x)] d x = int_()^() f (x) d x - int_()^() g (x) d x

Passo 2

A integral dada pelo enunciado é uma integral indefinida (não possui intervalos de integração) e apresenta uma divisão de funções: x^3 - 1 e x - 1 . A resolução de integrais desse tipo se dá pela regra da potência que nos diz que

int_()^() a x^n d x = a ((x^(n + 1))/(n + 1)) + C

Sendo a uma constante qualquer e n = 0 , 1 , 2 ... o valor da potência. Para facilitar a resolução, vamos simplificar a função. Sabendo que

a^3 - b^3 = ( a - b ) ( a^2 + a b + b^2 )

Temos que

int_()^() (x^3 - 1)/(x - 1) d x = int_()^() (( x - 1 ) ( x^2 + x + 1 ))/(x - 1) d x

= int_()^() x^2 + x + 1 d x

= int_()^() x^2 d x + int_()^() x^1 d x + int_()^() x^0 d x

= [((x^(2 + 1))/(2 + 1)) + ((x^(1 + 1))/(1 + 1)) + ((x^(0 + 1))/(0 + 1))] + C

Logo,

int_()^() (x^3 - 1)/(x - 1) d x = (x^3)/(3) + (x^2)/(2) + x + C

Até a próxima! =]

Resposta

(x^3)/(3) + (x^2)/(2) + x + C