Calcule a integral

int_()^() ((sqrt(t) + 2)^2)/(t^3) d t

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com antiderivada e integração indefinida e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses conceitos.

De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função f que é conhecida como sendo a antiderivada de f ' .

I = int_()^() f ' ( x ) d x = f (x) + C

Para alguma constante C e todo x no intervalo de I .

Algumas funções simples já tem suas antiderivadas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A seguir, temos algumas propriedades:

(i) int_()^() c f (x) d x = c int_()^() f (x) d x p a r a q u a l q u e r c o n s t a n t e c

(i i) int_()^() [f (x) + g (x)] d x = int_()^() f (x) d x + int_()^() g (x) d x

(i i i) int_()^() [f (x) - g (x)] d x = int_()^() f (x) d x - int_()^() g (x) d x

Passo 2

A integral dada pelo enunciado é uma integral indefinida (não possui intervalos de integração) e apresenta uma divisão de funções: (sqrt(t) + 2)^2 e t^3 . A resolução de integrais desse tipo se dá pela regra da potência que nos diz que

int_()^() a x^n d x = a ((x^(n + 1))/(n + 1)) + C

Sendo a uma constante qualquer e n = 0 , 1 , 2 ... o valor da potência.

Para facilitar a resolução, vamos estender a equação.

int_()^() ((sqrt(t) + 2)^2)/(t^3) d t = int_()^() (t + 4 sqrt(t) + 4)/(t^3) d t

int_()^() (t)/(t^3) + (4 t^((1)/(2)))/(t^3) + (4)/(t^3) d t

= int_()^() t^(- 2) d t + 4 int_()^() t^(- (5)/(2)) d t + 4 int_()^() t^(- 3) d t

= [((t^(- 2 + 1))/(- 2 + 1)) + 4 ((t^(- (5)/(2) + 1))/(- (5)/(2) + 1)) + 4 ((t^(- 3 + 1))/(- 3 + 1))] + C

= - (1)/(t) + (- (4)/((3 t^((3)/(2)))/(2))) + (- (4)/(2 t^2)) + C

Logo,

int_()^() ((sqrt(t) + 2)^2)/(t^3) d t = - (1)/(t) - (8)/(3 t^((3)/(2))) - (2)/(t^2) + C

Até a próxima! =]

Resposta

- (1)/(t) - (8)/(3 t^((3)/(2))) - (2)/(t^2) + C