Calcule a integral

int_()^() (x - (1)/(x))^2 d x

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com antiderivada e integração indefinida e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses conceitos.

De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função f que é conhecida como sendo a antiderivada de f ' .

I = int_()^() f ' ( x ) d x = f (x) + C

Para alguma constante C e todo x no intervalo de I .

Algumas funções simples já tem suas antiderivadas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A seguir, temos algumas propriedades:

(i) int_()^() c f (x) d x = c int_()^() f (x) d x p a r a q u a l q u e r c o n s t a n t e c

(i i) int_()^() [f (x) + g (x)] d x = int_()^() f (x) d x + int_()^() g (x) d x

(i i i) int_()^() [f (x) - g (x)] d x = int_()^() f (x) d x - int_()^() g (x) d x

Passo 2

A integral dada pelo enunciado é uma integral indefinida (não possui intervalos de integração) e apresenta funções compostas: x - (1)/(x) e x^2 . A resolução de integrais desse tipo se dá pela regra da potência que nos diz que

int_()^() a x^n d x = a ((x^(n + 1))/(n + 1)) + C

Sendo a uma constante qualquer e n = 0 , 1 , 2 ... o valor da potência. Para facilitar a resolução, vamos expandir a função.

int_()^() (x - (1)/(x))^2 d x = int_()^() x^2 - 2 + (1)/(x^2) d x

= int_()^() x^2 d x - int_()^() 2 d x + int_()^() (1)/(x^2) d x

= int_()^() x^2 d x - 2 int_()^() x^0 d x + int_()^() x^(- 2) d x

= [((x^(2 + 1))/(2 + 1)) - 2 ((x^(0 + 1))/(0 + 1)) + ((x^(- 2 + 1))/(- 2 + 1))] + C

= (x^3)/(3) - 2 x^1 + ((x^(- 1))/(- 1)) + C

Logo,

int_()^() (x - (1)/(x))^2 d x = (x^3)/(3) - 2 x - (1)/(x) + C

Até a próxima! =]

Resposta

(x^3)/(3) - 2 x - (1)/(x) + C