Calcule a integral

int_()^() (sqrt(u^3 ) - (1)/(2) u^(- 2) + 5) d u

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com antiderivada e integração indefinida e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses conceitos.

De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função f que é conhecida como sendo a antiderivada de f ' .

I = int_()^() f ' ( x ) d x = f (x) + C

Para alguma constante C e todo x no intervalo de I .

Algumas funções simples já tem suas antiderivadas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A seguir, temos algumas propriedades:

(i) int_()^() c f (x) d x = c int_()^() f (x) d x p a r a q u a l q u e r c o n s t a n t e c

(i i) int_()^() [f (x) + g (x)] d x = int_()^() f (x) d x + int_()^() g (x) d x

(i i i) int_()^() [f (x) - g (x)] d x = int_()^() f (x) d x - int_()^() g (x) d x

Passo 2

A integral dada pelo enunciado é uma integral indefinida (não possui intervalos de integração) e é composta por soma e subtração de funções: sqrt(u^3) , (1)/(2) u^(- 2) e 5 . A resolução de integrais desse tipo se dá pela regra da potência que nos diz que

int_()^() a x^n d x = a ((x^(n + 1))/(n + 1)) + C

Sendo a uma constante qualquer e n = 0 , 1 , 2 ... o valor da potência.

int_()^() (sqrt(u^3 ) - (1)/(2) u^(- 2) + 5) d u = int_()^() sqrt(u^3) d u - int_()^() (1)/(2) u^(- 2) d u + int_()^() 5 d u

= int_()^() u^((3)/(2)) d u - (1)/(2) int_()^() u^(- 2) d u + 5 int_()^() u^0 d u

= [((u^((3)/(2) + 1))/((3)/(2) + 1)) - (1)/(2) ((u^(- 2 + 1))/(- 2 + 1)) + 5 ((u^(0 + 1))/(0 + 1))] + C

= (u^((5)/(2)))/((5)/(2)) - (1)/(2) ((u^(- 1))/(- 1)) + 5 u + C

Logo,

int_()^() (sqrt(u^3 ) - (1)/(2) u^(- 2) + 5) d u = (2 sqrt(u^5))/(5) + (1)/(2 u) + 5 u + C

Até a próxima! =]

Resposta

(2 sqrt(u^5))/(5) + (1)/(2 u) + 5 u + C