Calcule a integral

int_()^() (2 v^((5)/(4)) + 6 v^((1)/(4)) + 3 v^(- 4)) d v

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com antiderivada e integração indefinida e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses conceitos.

De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função f que é conhecida como sendo a antiderivada de f ' .

I = int_()^() f ' ( x ) d x = f (x) + C

Para alguma constante C e todo x no intervalo de I .

Algumas funções simples já tem suas antiderivadas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A seguir, temos algumas propriedades:

(i) int_()^() c f (x) d x = c int_()^() f (x) d x p a r a q u a l q u e r c o n s t a n t e c

(i i) int_()^() [f (x) + g (x)] d x = int_()^() f (x) d x + int_()^() g (x) d x

(i i i) int_()^() [f (x) - g (x)] d x = int_()^() f (x) d x - int_()^() g (x) d x

Passo 2

A integral dada pelo enunciado é uma integral indefinida (não possui intervalos de integração) e é composta por uma soma de funções: 2 v^((5)/(4)) , 6 v^((1)/(4)) e 3 v^(- 4) . A resolução de integrais desse tipo se dá pela regra da potência que nos diz que

int_()^() a x^n d x = a ((x^(n + 1))/(n + 1)) + C

Sendo a uma constante qualquer e n = 0 , 1 , 2 ... o valor da potência.

int_()^() (2 v^((5)/(4)) + 6 v^((1)/(4)) + 3 v^(- 4)) d v = int_()^() 2 v^((5)/(4)) d v + int_()^() 6 v^((1)/(4)) d v + int_()^() 3 v^(- 4) d v

= 2 int_()^() v^((5)/(4)) d v + 6 int_()^() v^((1)/(4)) d v + 3 int_()^() 3 v^(- 4) d v

= [2 ((v^((5)/(4) + 1))/((5)/(4) + 1)) + 6 ((v^((1)/(4) + 1))/((1)/(4) + 1)) + 3 ((v^(- 4 + 1))/(- 4 + 1))] + C

= (2 v^((9)/(4)))/((9)/(4)) + (6 v^((5)/(4)))/((5)/(4)) + ((3 v^(- 3))/(- 3)) + C

Logo,

int_()^() (2 v^((5)/(4)) + 6 v^((1)/(4)) + 3 v^(- 4)) d v = (8 root(4)(v^9))/(9) + (24 root(4)(v^5))/(5) - (1)/(v^3) + C

Até a próxima! =]

Resposta

(8 root(4)(v^9))/(9) + (24 root(4)(v^5))/(5) - (1)/(v^3) + C