Calcule a integral

int_()^() (x^3 + 3 x^2 - 9 x - 2)/(x - 2) d x

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com antiderivada e integração indefinida e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses conceitos.

De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função f que é conhecida como sendo a antiderivada de f ' .

I = int_()^() f ' ( x ) d x = f (x) + C

Para alguma constante C e todo x no intervalo de I .

Algumas funções simples já tem suas antiderivadas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A seguir, temos algumas propriedades:

(i) int_()^() c f (x) d x = c int_()^() f (x) d x p a r a q u a l q u e r c o n s t a n t e c

(i i) int_()^() [f (x) + g (x)] d x = int_()^() f (x) d x + int_()^() g (x) d x

(i i i) int_()^() [f (x) - g (x)] d x = int_()^() f (x) d x - int_()^() g (x) d x

Passo 2

A integral dada pelo enunciado é uma integral indefinida (não possui intervalos de integração) e apresenta uma divisão de funções: x^3 + 3 x^2 - 9 x - 2 e x - 2 . A resolução de integrais desse tipo se dá pela regra da potência que nos diz que

int_()^() a x^n d x = a ((x^(n + 1))/(n + 1)) + C

Sendo a uma constante qualquer e n = 0 , 1 , 2 ... o valor da potência.

Para facilitar a resolução, vamos simplificar função. A equação no numerador não é um polinômio cúbico perfeito porque não satisfaz a equação -> a^3 - b^3 = ( a - b ) ( a^2 + a b + b^2 ) . Uma opção é resolver a divisão de polinômios. Vamos dividir por partes como fazemos normalmente com divisão de números da seguinte forma:

  1. Passo -> x^3 : x = x^2
  2. Passo -> x^2 (x - 2) = x^3 - 2 x^2
  3. Passo -> (x^3 + 3 x^2) - (x^3 - 2 x^2) = 5 x^2
  4. Passo -> 5 x^2 : x = 5 x
  5. Passo -> 5 x (x - 2) = 5 x^2 - 10 x
  6. Passo -> (5 x^2 - 9 x) - (5 x^2 - 10 x) = x
  7. Passo -> x : x = 1
  8. Passo -> 1 (x - 2) = x - 2
  9. Passo -> (x - 2) - (x - 2) = 0

A imagem abaixo ilustra a divisão para melhor entendimento

Voltando a integral, temos que

int_()^() (x^3 + 3 x^2 - 9 x - 2)/(x - 2) d x = int_()^() x^2 + 5 x + 1 d x

= int_()^() x^2 d x + int_()^() 5 x^1 d x + int_()^() 1 x^0 d x

= [((x^(2 + 1))/(2 + 1)) + 5 ((x^(1 + 1))/(1 + 1)) + ((x^(0 + 1))/(0 + 1))] + C

Logo,

int_()^() (x^3 + 3 x^2 - 9 x - 2)/(x - 2) d x = (x^3)/(3) + (5 x^2)/(2) + x + C

Até a próxima! =]

Resposta

(x^3)/(3) + (5 x^2)/(2) + x + C