Calcule a projeção ortogonal de q sobre o subespaço gerado por p para p e q como no Exercício 3.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considerando p ( t ) = 4 + t e q ( t ) = 5 - 4 t 2

O objetivo é encontrar a projeção ortogonal do q subespaço abrangido por p .

Em t 0 = - 1 , t 1 = 0 , t 2 = 1 , o valor de p ( t ) = 4 + t e q ( t ) = 5 - 4 t 2 são,

p t 0 = p ( - 1 ) = 3   q t 0 = q ( - 1 ) = 1 p t 1 = p ( 0 ) = 4  And  q t 1 = q ( 0 ) = 5 p t 2 = p ( 1 ) = 5   q t 2 = q ( 1 ) = 1

Para números reais t 0 , t 1 distintos, e t 3 , o produto interno ⟨ p , q ⟩ em P 2 é definido por,

⟨ p , q ⟩ = p t 0 q t 0 + p t 1 q t 1 + p t 3 q t 3 … … ( 1 )

Passo 2

Encontrar o produto interno ⟨ q , p ⟩ ,

⟨ q , p ⟩   = ⟨ p , q ⟩   = p ( - 1 ) q ( - 1 ) + p ( 0 ) q ( 0 ) + p ( 1 ) q ( 1 )     de   ( 1 )   = ( 3 ) ( 1 ) + ( 4 ) ( 5 ) + ( 5 ) ( 1 )   = 28

Encontre o produto interno ⟨ p , p ⟩ ,

  ⟨ p , p ⟩ = p ( - 1 ) p ( - 1 ) + p ( 0 ) p ( 0 ) + p ( 1 ) p ( 1 )   = ( 3 ) ( 3 ) + ( 4 ) ( 4 ) + ( 5 ) ( 5 )   = 9 + 16 + 28   = 50

Portanto, a projeção ortogonal de q para o subespaço abrangido é p ,

q ˆ   = ⟨ q , p ⟩ ⟨ p , p ⟩ p   = 28 50 ( 4 + t )   = 56 25 + 14 25 t

Resposta

q ˆ = 56 25 + 14 25 t