Calcule a projeção ortogonal de q sobre o subespaço gerado por p para p e q como no Exercício 4.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere p ( t ) = 3 t - t 2 e q ( t ) = 3 + 2 t 2

O objetivo é encontrar a projeção ortogonal do q no subespaço de p

Em t 0 = - 1 , t 1 = 0 , t 2 = 1 , o valor de p ( t ) = 3 t - t 2 e q ( t ) = 3 + 2 t 2 são,

p t 0 = p ( - 1 ) = - 4   q t 0 = q ( - 1 ) = 5 p t 1 = p ( 0 ) = 0   q t 1 = q ( 0 ) = 3 p t 2 = p ( 1 ) = 2   q t 2 = q ( 1 ) = 5

Para números reais t 0 , t 1 distintos, e t 3 , o produto interno ⟨ p , q ⟩ em P 2 é definido

⟨ p , q ⟩ = p t 0 q t 0 + p t 1 q t 1 + p t 3 q t 3 … … ( 1 )

Passo 2

Achando o produto interno ⟨ q , p ⟩ ,

⟨ q , p ⟩ = p ( - 1 ) q ( - 1 ) + p ( 0 ) q ( 0 ) + p ( 1 ) q ( 1 )     de   ( 1 )

  ⟨ q , p ⟩ = ⟨ p , q ⟩   = p ( - 1 ) q ( - 1 ) + p ( 0 )   = ( - 4 ) ( 5 ) + ( 0 ) ( 3 ) + ( 2 ) ( 5 )   = - 20 + 0 + 10   = - 10

Encontre o produto interno ⟨ p , p ⟩ ,

  ⟨ p , p ⟩ = p ( - 1 ) p ( - 1 ) + p ( 0 ) p ( 0 ) + p ( 1 ) p ( 1 )     de   ( 1 )   = ( - 4 ) ( - 4 ) + ( 0 ) ( 0 ) + ( 2 ) ( 2 )   = 16 + 0 + 4   = 20

Portanto, a projeção ortogonal de q para o subespaço abrangido é p ,

q ˆ   = ⟨ q , p ⟩ ⟨ p , p ⟩ p   = - 10 20 3 t - t 2   = - 3 2 t + 1 2 t 2 .

Resposta

q ˆ = - 3 2 t + 1 2 t 2