Calcule u →   ⋅ v →   , sabendo que | u → | = 5 , | v → | = 6   , | u →   ∧ v → | = 15 e que o ângulo entre u →   e v →   é menor que 90 ° .

Passo 1

Galera, para resolver essa questão, temos que usar uma fórmula diferente para o produto interno:

u →   ⋅ v → = | u → |   | v → | c o s θ

Vamos elevar essa expressão ao quadrado

( u →   ⋅ v → ) 2 = | u → | 2   | v → | 2 c o s 2 θ = | u → | 2   | v → | 2 ( 1 - s e n 2 θ )

Por outro lado, temos a seguinte fórmula para o produto vetorial:

u →   ∧ v → = | u → |   | v → | s e n θ ⇒ s e n   θ = u →   ∧   v → | u → |   | v → |

⇒ s e n 2   θ = | u →   ∧   v → | 2 | u → | 2   | v → | 2 = ( 15 5   ⋅   6 ) 2 = ( 1 2 ) 2 = 1 4

Passo 2

Agora podemos substituir esse resultado em:

( u →   ⋅ v → ) 2 = | u → | 2   | v → | 2 ( 1 - s e n 2 θ ) = 5 2 6 2 ( 1 - 1 4 ) = 3 ⋅ 5 2 ⋅ 6 2 4 = 3 ⋅ 5 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3 2 4 = 5 2 ⋅ 3 3

⇒ ( u →   ⋅ v → ) = 5 2 ⋅ 3 3 = ± 15 3

Para saber qual o sinal correto, temos que lembrar da seguinte regra:

  • Quando o ângulo é agudo, u →   ⋅ v → > 0 e vice-versa;
  • Quando o ângulo é obtuso, u →   ⋅ v → < 0 e vice-versa.

Como o ângulo entre u →   e v →   é menor que 90 ° , ou seja, é agudo, então u →   ⋅ v → = 15 3 .

Resposta

u →   ⋅ v → = 15 3