Calcule:

(d) X e Y tais A 99   =   X Y X - 1 (não efetue o produto) se A = 1   2   1   0   3   1   0   5   - 1   .

Passo 1

O primeiro passo aqui é relembrar a condição de que uma matriz é diagonalizável apenas quando existe uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que A = X Y X - 1 . Sendo assim, temos:

  • Y é a matriz diagonal composta dos elementos na diagonal são os autovalores
  • X é a matriz composta dos autovetores
  • X - 1 é a inversa de P

Portanto, nossa tarefa aqui é encontrar esses termos malandrinhos, mas pra quê? Bom, o comando tá, literalmente, pedindo pra diagonalizar a matriz e obter o valor de A 99 = X Y X - 1 !!

Passo 2

O próximo passo vai ser obter os autovalores, aplicando det(A-λI)

1 - λ   2   1   0   3 - λ   1   0   5   - 1 - λ  

Desenvolvendo a matriz, teremos como raízes e autovalores λ=1, λ=-2 e λ=4. Portanto a matriz Y 99 = 1   0   0   0   - 2 99   0   0   5   4 99  

Passo 3

Tranquilo tranquilo, o próximo passo é obter os autovetores, substituindo cada autovalor na matriz, assim:

Para λ=1 é gerado o autovetor (1,0,0), λ=-2 gera-se (1,1,-5) e λ=4 gera (1,1,1)

Sabendo que X é justamente os autovetores, então X = 1   1   1   0   1   1   0   - 5   1  

Como o enunciado da questão diz para não efetuar a multiplicação, então, já terminamos essa questãozita, então já pode mandar a próxima!

Resposta

X = 1   1   1   0   1   1   0   - 5   1     ,   Y 99 = 1   0   0   0   - 2 99   0   0   5   4 99