Calcule:
(d) X e Y tais (não efetue o produto) se .
Passo 1
O primeiro passo aqui é relembrar a condição de que uma matriz é diagonalizável apenas quando existe uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que . Sendo assim, temos:
- Y é a matriz diagonal composta dos elementos na diagonal são os autovalores
- X é a matriz composta dos autovetores
- é a inversa de P
Portanto, nossa tarefa aqui é encontrar esses termos malandrinhos, mas pra quê? Bom, o comando tá, literalmente, pedindo pra diagonalizar a matriz e obter o valor de !!
Passo 2
O próximo passo vai ser obter os autovalores, aplicando det(A-λI)
Desenvolvendo a matriz, teremos como raízes e autovalores λ=1, λ=-2 e λ=4. Portanto a matriz
Passo 3
Tranquilo tranquilo, o próximo passo é obter os autovetores, substituindo cada autovalor na matriz, assim:
Para λ=1 é gerado o autovetor (1,0,0), λ=-2 gera-se (1,1,-5) e λ=4 gera (1,1,1)
Sabendo que X é justamente os autovetores, então
Como o enunciado da questão diz para não efetuar a multiplicação, então, já terminamos essa questãozita, então já pode mandar a próxima!