Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores u   =   ( 2 ,   - 1 ,   1 ) , v   =   ( 1 ,   3 ,   2 ) e   w   =   ( - 1 ,   4 , - 3 ) .

Passo 1

Para calcular o volume de um paralelepípedo definido por três vetores u ,   v   e   w   temos que fazer o produto misto (produto vetorial e escalar) desses vetores como na fórmula: V = | ( u × v ) . w | .

Passo 2

Vamos começar pelo produto vetorial:

O produto vetorial de u = ( a , b , c )   e   v = ( x , y , z ) é dado por :

Então, para u   =   ( 2 ,   - 1 ,   1 ) , v   =   ( 1 ,   3 ,   2 ) temos:

u × v = ( ( - 1.2 ) - ( 1.3 ) ) i + ( ( 1.1 ) - ( 2.2 ) ) j + ( ( 2.3 ) - ( - 1.1 ) ) k = ( - 5 , - 3,7 )

Passo 3

Agora vamos para o produto escalar:

O produto escalar de dois vetores t = ( a , b , c )   e   r = ( x , y , z ) é dado por t . r = a x + b y + c z

Então, para t = u × v = ( - 5 , - 3,7 ) e r = w =   ( - 1 ,   4 , - 3 ) temos: t . r = 5 - 13 - 21 = 5 - 34 = - 29

V = | ( u × v ) . w | = | t . w | = | - 29 | = 29

Resposta

V = 29