10. Dê o centro, as medidas dos semieixos e os focos das elipses:

f) 3 x 2 + 4 y 2 - 18 x + 16 y - 31 = 0 .

Passo 1

Uhuu! Último item deste apêndice, galera! A essa altura, você já deve estar fera no assunto, mas não custa nada treinar mais um pouco. Mas se você já tentou bastante essa questão, não fique triste porque na verdade o enunciado tem um erro de digitação. Deveria ser 3 x 2 + 4 y 2 - 18 x + 16 y + 31 = 0 . Não precisa agradecer, a gente tá aqui para isso. Como de costume, vamos completar quadrados:

3 x 2 + 4 y 2 - 18 x + 16 y - 31 = 0

⇒ 3 x 2 - 18 x + 27 - 27 + 4 y 2 + 16 y + 16 - 16 + 31 = 0

⇒ 3 ( x 2 - 6 x + 9 ) + 4 ( y 2 + 4 y + 4 ) = 12

⇒ 3 ( x - 3 ) 2 + 4 ( y + 2 ) 2 = 12

⇒ 3 ( x - 3 ) 2 12 + 4 ( y + 2 ) 2 12 = 1

⇒ ( x - 3 ) 2 4 + ( y + 2 ) 2 3 = 1

Observando a equação acima, vemos que C = ( 3 , - 2 ) , a 2 = 4 ⇒ a = 2 , b 2 = 3 ⇒ b = 3 e os focos estão no eixo O x . Assim, ficamos com

c 2 = a 2 - b 2 = 4 - 3 = 1 ⇒ c = 1

Então, os focos estão em (Veja a resolução da questão 9)

( x 0 - c , y 0 ) = ( 3 - 1 , - 2 ) = ( 2 , - 2 )

e

( x 0 + c , y 0 ) = ( 3 + 1 , - 2 ) = ( 4 , - 2 )

Resposta

C = ( 3 , - 2 ) , a = 2 , b = 3 .

( 2 , - 2 ) , ( 4 , - 2 )