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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Apêndice.I - Ex. 10b

10. Dê o centro, as medidas dos semieixos e os focos das elipses:

b) 4 ( x - 7 ) 2 + 8 ( y - 5 ) 2 = 4 ;

Passo 1

E aí, gente? Vocês provavelmente já imaginam o que a gente tem que fazer, não é mesmo? Temos que dividir a equação por 4 para obter algo do tipo

( x   -   x 0 ) 2 a 2 + ( y   - y 0 ) 2 b 2 = 1   o u   ( x   -   x 0 ) 2 b 2 + ( y   -   y 0 ) 2 a 2 = 1

No caso, o centro está no ponto ( x 0 , y 0 ) . Então, vamos lá!

4 ( x - 7 ) 2 + 8 ( y - 5 ) 2 = 4 ⇒ ( x - 7 ) 2 + 2 ( y - 5 ) 2 = 1

⇒ ( x - 7 ) 2 1 + ( y - 5 ) 2 1 2 = 1

Olhando para a equação acima, vemos que o centro C = ( 7 , 5 ) , a = 1 ,   b = 1 2 e os focos estão no eixo O y . Então as extremidades dos semi eixos estão em ( - 1,0 ) ,   ( 1,0 ) para o eixo maior e ( 0 , - 1 2 ) ,   ( 0 , 1 2 ) . Além disso,

c 2 = a 2 - b 2 = 1 - 1 2 = 1 2 ⇒ c = 1 2

Então, os focos estão em (Veja a resolução da questão 9)

( x 0 - c , y 0 ) = ( 7 - 1 2 , 5 )

e

( x 0 + c , y 0 ) = ( 7 + 1 2 , 5 )

Resposta

C = ( 7 , 5 ) , a = 1 ,   b = 1 2

( 7 - 1 2 , 5 ) , ( 7 + 1 2 , 5 )