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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Apêndice.I - Ex. 10e

10. Dê o centro, as medidas dos semieixos e os focos das elipses:

e) 9 x 2 + 4 y 2 + 36 x - 8 y + 4 = 0 ;

Passo 1

Fala, galerinha! Mais uma vez, temos que completar quadrados

9 x 2 + 4 y 2 + 36 x - 8 y + 4 = 0 ⇒   9 x 2 + 36 x + 36 - 36 + 4 y 2 - 8 y + 4 = 0

⇒ ( 3 x + 6 ) 2 + ( 2 y - 2 ) 2 = 36

⇒ 9 ( x + 2 ) 2 + 4 ( y - 1 ) 2 = 36

⇒ 9 ( x + 2 ) 2 36 + 4 ( y - 1 ) 2 36 = 1

⇒ ( x + 2 ) 2 4 + ( y - 1 ) 2 9 = 1

Ok! Agora fica claro que o centro da elipse está em C = ( - 2,1 ) , a 2 = 9 ⇒ a = 3 , b 2 = 4 ⇒ b = 2 e os focos estão no eixo O y . Como

c 2 = a 2 - b 2 = 9 - 4 = 5 ⇒ c = 5

então, os focos estão em

( x 0 - c , y 0 ) = ( - 2,1 - 5 )

e

( x 0 + c , y 0 ) = ( - 2,1 + 5 )

Resposta

C = ( - 2,1 ) , a = 3 , b = 2

( - 2,1 - 5 ) , ( - 2,1 + 5 )