10. Dê o centro, as medidas dos semieixos e os focos das elipses:

a) ( x   -   1 ) 2 2 + ( y   +   1 ) 2 4 = 1 ;

Passo 1

Galera, a equação geral de uma elipse de centro C = ( m , n ) é:

( x   -   m ) 2 a 2 + ( y   - n ) 2 b 2 = 1 ,   s e   o s   f o c o s   e s t i v e r e m   e m   O x

( x   -   m ) 2 b 2 + ( y   - n ) 2 a 2 = 1 ,   s e   o s   f o c o s   e s t i v e r e m   e m   O y

Olhando para a elipse dada no enunciado, vemos que m = 1 e n = - 1 . Então, o centro da elipse é C = ( 1 , - 1 ) . Além disso, o eixo maior está associado a 4 e o menor está associado a 2 . Então,

a 2 = 4 ⇒ a = 2

b 2 = 2 ⇒ b = 2 .

Além disso, vemos que os focos estão em O y .

Passo 2

Agora, vamos achar os focos da elipse. A coordenada x dos focos deve ser a mesma do centro, ou seja, x = 1 .

A distância focal, que ocorre no eixo O y , é 2 c = F 1 F 2 . Além disso, como o centro é ponto médio de F 1 F 2 , temos que F 1 C = C F 2 = c .

Assim, podemos obter c 2 usando o Teorema de Pitágoras:

a 2 = b 2 + c 2 ⇒ c 2 = a 2 - b 2 = 4 - 2 = 2 ⇒ c = 2

Então, F 1 C = c = 2 . Por outro lado, F 1 C = - 1 - y 1 . Daí,

- 1 - y 1 = 2 ⇒ y 1 = - 1 - 2

Agora, vamos descobrir o outro foco: C F 2 = c = 2 e C F 2 = y 2 - ( - 1 ) = y 2 + 1 . Então,

y 2 + 1 = 2 ⇒ y 2 = 2 - 1

Prontinho. Conseguimos obter F 1 = ( 1 ,   - 1 - 2 ) e F 2 = ( 1 ,   - 1 + 2 )

Resposta

C = ( 1 , - 1 ) , a = 2 , b = 2 .

F 1 = ( 1 ,   - 1 - 2 ) e F 2 = ( 1 ,   - 1 + 2 )