10. Dê o centro, as medidas dos semieixos e os focos das elipses:

c) 4 x 2 + y 2 - 2 y - 3 = 0

[sugestão: complete o quadrado, isto é, faça uso da igualdade:

x 2 + 2 a x = ( x + a ) 2 - a 2 . Exemplo:

y 2 - 2 y = y 2 - 2 × y × 1 + 1 2 - 1 2 = ( y - 1 ) 2 - 1 . ];

Passo 1

Fala, pessoal! Vamos começar seguindo a sugestão do livro e completando quadrados:

4 x 2 + y 2 - 2 y - 3 = 0 ⇒ 4 x 2 + y 2 - 2 y + 1 - 1 - 3 = 0

⇒ 4 x 2 + ( y - 2 ) 2 = 4

⇒ x 2 1 + ( y - 2 ) 2 4 = 1

Com isso, dá pra gente perceber que o centro está em C = ( 0,2 ) e a 2 = 4 ⇒ a = 2 e b 2 = 1 ⇒ b = 1 . Nesse caso, os focos estão no eixo O y . Temos

c 2 = a 2 - b 2 = 4 - 1 = 3 ⇒ c = 3

Então, os focos estão

( x 0 , y 0 - c ) = ( 0 , - 3 + 1 )

e

( x 0 , y 0 + c ) = ( 0 , 3 + 1 )

Resposta

C = ( 0,2 )

a = 2 e b = 1

( 0 , - 3 + 1 ) , ( 0 , 3 + 1 )