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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Apêndice.II - Ex. 7a

7. Dê o centro, as medidas dos semieixos e os focos das hipérboles:

  1. ( x   -   2 ) 2 9 - ( y   +   3 ) 2 16 = 1 ;

Passo 1

E aí, galerinha? Última questão deste capítulo, já estamos na reta final!

Olha só, como o sinal negativo vem antes do y , então essa hipérbole tem focos no eixo O x . Nesse caso, uma elipse de centro em C = ( x 0 , y 0 ) tem a forma

( x   -   x 0 ) 2 a 2 - ( y   - y 0 ) 2 b 2 = 1

Assim, para a hipérbole

( x   -   2 ) 2 9 - ( y   +   3 ) 2 16 = 1

identificamos que C = ( 2 , - 3 ) , a 2 = 9 ⇒ a = 3 e b 2 = 16 ⇒ b = 4 .

Passo 2

Para descobrir os focos, precisamos primeiro obter c

c 2 =   a 2 + b 2   ⇒   c   =   9 + 16 ⇒ c =   5

Como a hipérbole não está centrada na origem, então o foco é dado em ( x 0 - c , y 0 ) e ( x 0 + c , y 0 ) . Então,

( x 0 - c , y 0 )   ⇒   ( 2 - 5 , - 3 ) = ( - 3 , - 3 )

( x 0 + c , y 0 ) = ( 2 + 5 , - 3 ) = ( 7 , - 3 )

Resposta

( 2 , - 3 ) ;   3,4 ;   ( - 3 , - 3 ) , ( 7 , - 3 ) .