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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Apêndice.II - Ex. 7b

7. Dê o centro, as medidas dos semieixos e os focos das hipérboles:

b) ( y + 4 ) 2 - 16 x 2 = 4 ;

Passo 1

Fala, pessoal! Vamos começar esse item dividindo tudo por 4 :

( y + 4 ) 2 - 16 x 2 = 4 ⇒   ( y + 4 ) 2 4 - 16 x 2 4 = 1 ⇒   ( y + 4 ) 2 4 - 4 x 2 1 = 1 ⇒   ( y + 4 ) 2 4 - x 2 1 4 = 1

Aqui, o sinal negativo vem antes do x 2 , então os focos estão em O y . Assim, a equação da elipse é do tipo

- ( x   - x 0 ) 2 b 2 + ( y   - y 0 ) 2 a 2 = 1 ,   s e   o s   f o c o s   e s t i v e r e m   e m   O y

Olhando para a elipse dada no enunciado, vemos que C = ( x 0 , y 0 ) = ( 0 , - 4 ) . Além disso, o eixo maior está associado a 4 e o menor está associado a 1 4 . Então,

a 2 = 1 4 ⇒ a = 1 2

b 2 = 4 ⇒ b = 2 .

Passo 2

Para descobrir os focos, precisamos primeiro obter c

c 2 =   a 2 + b 2   ⇒   c   =   1 4 + 4 ⇒ c = 17 2

Como a hipérbole não está centrada na origem, então o foco é dado em   ( x 0 , y 0 - c ) e ( x 0 , y 0 + c ) . Então,

( x 0 , y 0 - c )   = ( 0 , - 4 - 17 2 )

( x 0 , y 0 + c ) = ( 0 , - 4 + 17 2 )

Resposta

( 0 , - 4 ) ; 1 2 ,   2 ;   ( 0 , - 4 ± 17 2 ) .