7. Dê o centro, as medidas dos semieixos e os focos das hipérboles:

c) x 2 - y 2 - 2 x + 2 y - 8 = 0 ;

Passo 1

Oi, gente? Tudo bom com vocês? Ótimo, então vamos detonar essa questão!

Antes de mais nada, temos que completar quadrados

x 2 - y 2 - 2 x + 2 y - 8 = 0

⇒ x 2 - 2 x + 1 - 1 - y 2 + 2 y - 1 + 1 - 8 = 0

⇒ ( x - 1 ) 2 - ( y - 1 ) 2 = 8

Agora, vamos dividir tudo por 8 :

⇒ ( x - 1 ) 2 8 - ( y - 1 ) 2 8 = 1

Assim, vemos que a hipérbole está centrada em C = ( 1,1 ) , seus focos estão no eixo O x e a 2 = b 2 = 8 ⇒ a = b = 8 = 2 2 .

Passo 2

Para descobrir os focos, precisamos primeiro obter c

c 2 =   a 2 + b 2   ⇒   c   =   8 + 8 ⇒ c =   4

Como a hipérbole não está centrada na origem, então o foco é dado em ( x 0 - c , y 0 ) e ( x 0 + c , y 0 ) . Então,

( x 0 - c , y 0 )   =   ( 1 - 4,1 ) = ( - 3,1 )

( x 0 + c , y 0 ) = ( 1 + 4,1 ) = ( 5,1 )

Resposta

( 1,1 ) ; 2 2 , 2 2 ; ( 5,1 ) , ( - 3,1 ) .