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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Apêndice.II - Ex. 7d

7. Dê o centro, as medidas dos semieixos e os focos das hipérboles:

d) x 2 - 2 y 2 - 6 x - 8 y - 3 = 0 ;

Passo 1

Fala, galerinha. Vamos de completar quadrados para iniciar esse item:

x 2 - 2 y 2 - 6 x - 8 y - 3 = 0

⇒   x 2 - 6 x + 9 - 9 - 2 ( y 2 + 4 y + 4 - 4 ) - 3 = 0

⇒   ( x - 3 ) 2 - 2 ( y + 2 ) 2 = 4

Agora a gente divide tudo por 4 :

( x - 3 ) 2 4 - 2 ( y + 2 ) 2 4 = 1

⇒   ( x - 3 ) 2 4 - ( y + 2 ) 2 2 = 1

A partir da equação acima nós conseguimos muitas informações: a hipérbole tem focos no eixo O x , seu centro é C = ( 3 , - 2 ) , a 2 = 4 ⇒ a = 2 e b 2 = 2 ⇒ b = 2 .

Passo 2

Para descobrir os focos, precisamos primeiro obter c

c 2 =   a 2 + b 2   ⇒   c   =   4 + 2 ⇒ c = 6

Como a hipérbole não está centrada na origem e tem focos em O x , então os focos são dados em ( x 0 - c , y 0 ) e ( x 0 + c , y 0 ) . Assim,

( x 0 - c , y 0 )   =   ( 3 - 6 , - 2 ) = ( 3 + 6 , 1 )

( x 0 + c , y 0 ) = ( 3 + 6 , - 2 ) = ( 3 - 6 , - 2 )

Resposta

( 3 , - 2 ) ;   2 ,   2 ;   ( 3 + 6 , - 2 ) , ( 3 - 6 , - 2 ) .