7. Dê o centro, as medidas dos semieixos e os focos das hipérboles:

e) 4 x 2 - 9 y 2 - 24 x + 18 y + 63 = 0 .

Passo 1

E aí, pessoal! Já sabem, né? Vamos completar quadrados:

4 x 2 - 9 y 2 - 24 x + 18 y + 63 = 0

⇒ 4 ( x 2 - 6 x + 9 - 9 ) - 9 ( y 2 - 2 y + 1 - 1 ) + 63 = 0

⇒ 4 ( x - 3 ) 2 - 9 ( y - 1 ) 2 = 36

Agora, dividimos tudo por 36 :

4 ( x   -   3 ) 2 36 - 9 ( y   -   1 ) 2 36 = 1

⇒ ( x   -   3 ) 2 9 - ( y   -   1 ) 2 4 = 1

A partir da equação da hipérbole que obtivemos, podemos observar que ela está centrada em C = ( 3,1 ) , tem focos no eixo O x , a 2 = 9 ⇒ a = 3 e b 2 = 4 ⇒ b = 2 .

Passo 2

Para descobrir os focos, precisamos primeiro obter c

c 2 =   a 2 + b 2   ⇒   c   =   9 + 4 ⇒ c = 13

Como a hipérbole não está centrada na origem e tem focos no eixo O x , então o foco é dado em ( x 0 , y 0 - c ) e ( x 0 , y 0 + c ) . Logo,

( x 0 , y 0 - c )   =   ( 3,1 - 13 )

( x 0 , y 0 + c ) = ( 3,1 + 13 )

Resposta

( 3,1 ) ; 2,3 ;   ( 3,1 + 13 ) , ( 3,1 - 13 ) .