1. Qual é a condição necessária para que v → ∧ w →   =   0 → ?
  2. Qual é a condição necessária e suficiente para que [ x → ,   y   → , z → ]   =   0 ?
  3. Se u → , v   → e w → são l.d. e x →   ≠ 0 → , qual é o valor de [ x → ∧ u → ,   x → ∧ v → ,   x → ∧ w → ] . Por que?

Passo 1

  1. Galera, o produto vetorial é calculado por meio de um determinante. Se os dois vetores do produto vetorial forem paralelos, então v → = α w → e, nesse caso, o determinante é nulo. Assim, v → / / w → é condição necessária e suficiente para que v → ∧ w →   =   0 →
  2. Passo 2

  3. O produto misto nada mais é que um determinante de uma matriz formada por três vetores. Assim, os três vetores serem l.d. já é condição necessária e suficiente para que o determinante e, consequentemente, o produto misto seja nulo.
  4. Passo 3

  5. Para conseguir calcular esse produto misto, vamos lembrar que Se u → , v   → e w → são l.d. Então, podemos escrever

w → = α u → + β v   →

Então, usando a propriedade distributiva do produto vetorial, obtemos

x → ∧ w → = x → ∧ ( α u → + β v   → ) = α ( x → ∧ u → ) + β (   x →   ∧ v → )

Agora, vamos substituir esse resultado no produto misto e, novamente, usar a propriedade distributiva:

[ x → ∧ u → ,   x → ∧ v → ,   x → ∧ w → ] = [ x → ∧ u → ,   x → ∧ v → , α ( x → ∧ u → ) + β (   x → ∧ v → ) ]

[ x →   ∧ u → ,   x →   ∧ v → ,   x → ∧   w → ] = α [ x →   ∧ u → ,   x →   ∧ v → , x →   ∧ u → ] + β [ x →   ∧ u → ,   x →   ∧ v → ,   x →   ∧ v → ]

[ x →   ∧ u → ,   x →   ∧ v → ,   x → ∧   w → ] =   0 + 0 = 0

onde usamos a propriedade [ a → , b → , b → ] = 0 .

Resposta

  1. v → / / w →
  2. x → ,   y   → , z → l.d.
  3. 0