a) Qual a condição em b 1 , b 2 e b 3 para que o sistema abaixo possua solução?

2 - 5 8 | b 1 2       1 0 | b 2 1 - 4 6 | b 3

b) Sem refazer todas as contas, diga se o sistema possui solução com o lado direito ( 3 ,   5 ,   - 1 ) .

Passo 1

E aí, galera, tudo certo? Bora para o exercício!!!

Antes de iniciar o exercício em si, vamos relembrar a relação entre o total de soluções de um sistema linear e o posto da matriz de coeficientes e o da matriz estendida. Sejam A e B a matriz de coeficientes e a matriz estendida, respectivamente, de um sistema linear. São válidas as seguintes afirmações:

1- Se p o s t o A < p o s t o ( B ) o sistema linear não possui solução (trata-se do caso em que o sistema possui uma equação degenerada, ou seja, uma equação da forma 0 x + 0 x = 1 , por exemplo).

2- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A = ( n º   v a r i á v e i s ) o sistema linear possui uma única solução (trata-se do caso em que o sistema não possui nenhuma variável livre).

3- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A < ( n º   v a r i á v e i s ) o sistema linear possui infinitas soluções (nesse caso o grau de liberdade, que é definido como n º   v a r i á v e i s - p o s t o ( A ) , será pelo menos igual 1 , ou seja, o sistema possuirá pelo menos uma variável livre, de modo que teremos infinitas soluções).

Com os conceitos frescos na mente, vamos para a questão!!!

Passo 2

a) Escalonando a matriz dada, obtemos a matriz abaixo:

2 - 5 8 | b 1 0 6 - 8 | b 2 - b 1 0 0 0 | - 3 b 1 + b 2 + 4 b 3 4

Para que esse sistema possua solução, a última equação não pode ser degenerada, ou seja, devemos ter - 3 b 1 + b 2 + 4 b 3 4 = 0 , ou melhor, - 3 b 1 + b 2 + 4 b 3 = 0 .

Passo 3

b) Fazendo b 1 = 3 , b 2 = 5 e b 3 =   - 1 obtemos - 3 b 1 + b 2 + 4 b 3 =   - 8 , portanto, pelo item anterior, concluímos que o sistema com lado direito ( 3 ,   5 ,   - 1 ) não possui solução.

Resposta

a) - 3 b 1 + b 2 + 4 b 3 = 0 .

b) O sistema com lado direito ( 3 ,   5 ,   - 1 ) não possui solução.