O conjunto E = {a, b, c, d, e} ´e formado pelos cinco filhos de um mesmo casamento. Seja R a relação sobre E assim definida:

x R y   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   x   é   i r m ã o   d e   y  

Que propriedade R apresenta?

Nota: x é irmão de y quando x y e x e y têm os mesmos pais.

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Primeiro devemos escrever todas as combinações possíveis do conjunto E, dado pelo produto cartesiano E × E .

E 2   =   { ( a ,   a ) , ( a ,   b ) , ( a ,   c ) , ( a ,   d ) , ( a ,   e ) , ( b ,   a ) , ( b ,   b ) , ( b ,   c ) , ( b ,   d ) ,

b ,   e , c ,   a , c ,   b ,   c ,   c , c ,   e , d ,   a , d ,   b , d ,   c , d ,   e ,

( d ,   d ) , ( e ,   a ) , ( e ,   b ) , ( e ,   c ) , ( e ,   d ) , ( e ,   e ) }  

Os elementos ( a ,   a ) , ( b ,   b ) , ( c ,   c ) , ( d ,   d )   e   ( e ,   e ) não são irmãos, pois não se pode ser irmão de si mesmo! Então R é:

R = E 2 - { ( a ,   a ) , ( b ,   b ) , ( c ,   c ) , ( d ,   d ) , ( e ,   e ) }  

E agora vamos testar as propriedades para saber quais R Possui, vamos lá!

Passo 2

Começando pela propriedade reflexiva, para que ela possua essa propriedade todo elemento que a constitui deve se relacionar consigo mesmo. Como R não possui os elementos (a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(e, e), então ela não é reflexiva.

Passo 3

Testando a simetria agora, conseguimos perceber que para todo (x, y) existe um (y,x), ou seja, escrevendo de forma matemática, ∀   x ,   y ∈ E ; x R y ⇒ y R x . R é simétrico.

Passo 4

Para a transitividade, se supormos por absurdo que existe a ,   b ∈ E que possuem transitividade, então a R b e b R a pela transitividade teríamos a R a , porem isso é um absurdo visto que não existe o elemento ( a , a ) em R.

Passo 5

Hipoteticamente o conjunto E tem cinco elementos, então se a relação fosse antissimétrica, E seria unitário, o que não é verdade como vimos.

Resposta

Apenas simétrica.