Se E é um conjunto não vazio, mostre que no anel A = ρ ( E ) todos os elementos são idempotentes.

Passo 1

Saudações galera! Tudo bem?

Essa questão é totalmente teórica, pois se trata de uma demonstração.

Tá preparado?

Bora lá então!

Passo 2

Se A = ρ ( E ) é a união disjunta de subconjuntos não vazios logo os conjuntos que pertence E   serão abertos E 1   e   E 2 , então desde ρ ( E ) é um feixe de anéis, o homomorfismo do anel A :

A   = ρ E   → ρ ( E 1 ) × ρ ( E 2 )

é um isomorfismo.

E i =   1   ,   2 , temos 0   ≠   1 dentro ρ E i , pois para E i ∈ A e,   ρ E 1   ρ E 2 ,

Portanto ρ ( E ) são idempotentes não triviais de E .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)