6. Um conjunto E de pontos de um plano é simétrico em relação ao eixo O y , se P = ( x , y ) pertencendo a E , implica que P ' = ( - x , y ) também pertence a E . O conjunto E é simétrico em relação a O x se P = ( x , y ) pertencendo a E , implica que P ' ' = ( x , - y ) também pertence a E .

Prove que uma elipse de eixos contidos nos eixos coordenados é um conjunto simétrico em relação a eles. Além disso é simétrico em relação à origem, isto é, se P = ( x , y ) é da elipse, P ' ' ' = ( - x , - y ) também é (veja as figuras abaixo).

Passo 1

Fala, pessoal! Bora detonar mais uma questão juntos?

Vamos começar lembrando que a equação da elipse nos eixos coordenados tem a forma

x 2 r 2 + y 2 s 2 = 1 ,   r > 0 ,   s > 0

porque não sabemos qual é o eixo maior. Essa equação é válida para P = ( x , y ) . Vamos ver o que acontece para P ' = ( - x , y ) , que é o ponto simétrico em relação ao eixo O y :

( - x ) 2 r 2 + y 2 s 2 = 1 ⇒ x 2 r 2 + y 2 s 2 = 1

Como obtivemos a equação da elipse, então esse ponto pertence à elipse também.

Passo 2

Agora, vamos testar para o ponto P ' ' = ( x , - y ) , que é simétrico de P em relação a O x :

x 2 r 2 + ( - y ) 2 s 2 = 1 ⇒ x 2 r 2 + y 2 s 2 = 1

Então P ' ' também pertence à elipse. Agora, para P ' ' ' = ( - x , - y ) que é o simétrico em relação à origem, temos

( - x ) 2 r 2 + ( - y ) 2 s 2 = 1 ⇒ x 2 r 2 + y 2 s 2 = 1

Ou seja, P ' ' ' = ( - x , - y ) também faz parte da origem. Resumindo, o que nós podemos concluir com essa questão é que uma elipse de eixos contidos nos eixos coordenados é um conjunto simétrico em relação a eles e simétrico em relação à origem.

Resposta

Veja a resolução acima.