6. Um conjunto de pontos de um plano é simétrico em relação ao eixo , se pertencendo a , implica que também pertence a . O conjunto é simétrico em relação a se pertencendo a , implica que também pertence a .
Prove que uma elipse de eixos contidos nos eixos coordenados é um conjunto simétrico em relação a eles. Além disso é simétrico em relação à origem, isto é, se é da elipse, também é (veja as figuras abaixo).
Passo 1
Fala, pessoal! Bora detonar mais uma questão juntos?
Vamos começar lembrando que a equação da elipse nos eixos coordenados tem a forma
porque não sabemos qual é o eixo maior. Essa equação é válida para . Vamos ver o que acontece para , que é o ponto simétrico em relação ao eixo :
Como obtivemos a equação da elipse, então esse ponto pertence à elipse também.
Passo 2
Agora, vamos testar para o ponto , que é simétrico de em relação a :
Então também pertence à elipse. Agora, para que é o simétrico em relação à origem, temos
Ou seja, também faz parte da origem. Resumindo, o que nós podemos concluir com essa questão é que uma elipse de eixos contidos nos eixos coordenados é um conjunto simétrico em relação a eles e simétrico em relação à origem.
Resposta
Veja a resolução acima.