Quais dos conjuntos abaixo são anéis de integridade ? Suponha que a adição e a multiplicação são usuais.

a) A =   {   2 x + 1 | x   ∈ Z }

b) A =   {   2 x | x   ∈ Z }

c) A =   {   x \ 2 | x   ∈ Q }

d) A =     x + y \ 3   x   ∈ Z

e) A =   {   x + y \ | 3 , y   ∈ Q }

f) A =   {   a + b \ 2 + c \ 5 + d \ 10   | a , b , c , d   ∈ Z }

Passo 1

Saudações galera! Tudo bem?

Antes de resolver essa questão vamos só lembrar de um detalhe!

De acordo com a definição de anel de integridade ou um anel comutativo A, dizemos que x   ≠   0 e y   ≠ 0 em um anel A são divisores próprios de zero quando x   ·   y   =   0

Acho que estamos prontos para começar, vamos nessa!

Passo 2

Considerando A =   {   2 x + 1 | x   ∈ Z }

Aplicando a definição temos que:

2 x   +   1   =   0  

P a r a     X = 0  

2.0   +   1   = 0  

1   ≠ 0  

Logo A =   {   2 x + 1 | x   ∈ Z } não é uma anel de integridade

Passo 3

Considerando A =   {   2 x | x   ∈ Z }

Aplicando a definição temos que:

2 x     =   0  

P a r a     X = 0  

2.0     = 0  

0   ≠ 0  

Logo A =   {   2 x | x   ∈ Z } não é uma anel de integridade

Passo 4

Considerando A =   {   x \ 2 | x   ∈ Q }

Aplicando a definição temos que:

x 2     =   0  

P a r a     X = 0  

0 2     = 0  

0 = 0  

Logo A =   { x 2 | x   ∈ Z } é uma anel de integridade

Passo 5

Considerando A =       x + y \ 3   x   ∈ Z

Aplicando a definição temos que:

x + y 3     =   0  

P a r a     X = 0  

y 3      

P a r a     Y = 0  

x 3    

P a r a     Y   e   X = 0  

y 3   .   x 3   = 0  

0 = 0

Logo A =       x + y \ 3   x   ∈ Z é uma anel de integridade.

Quase acabando!

Passo 6

Considerando A =       x + y \ 3   x   ∈ Q

Aplicando a definição temos que:

x + y 3     =   0  

P a r a     X = 0  

y 3      

P a r a     Y = 0  

x 3    

P a r a     Y   e   X = 0  

y 3   .   x 3   = 0  

0 = 0

Logo A =       x + y \ 3   x   ∈ Q   é uma anel de integridade

Passo 7

Considerando A =   {   a + b \ 2 + c \ 5 + d \ 10   | a , b , c , d   ∈ Z }

Aplicando a definição temos que:

a + b \ 2 + c \ 5 + d \ 10       =   0  

P a r a     a = 0 ,   b = 0 , c = 0   e   d = 0    

0 + 0 \ 2 + 0 \ 5 + 0 \ 10   =   0    

Logo A =   {   a + b \ 2 + c \ 5 + d \ 10   | a , b , c , d   ∈ Z } é uma anel de integridade

Resposta

a) A =   {   2 x + 1 | x   ∈ Z } – Não É um anel de integridade

b) A =   {   2 x | x   ∈ Z } - – É um anel de integridade

c) A =     x \ 2 x   ∈ Q -   É   u m   a n e l   d e   i n t e g r i d a d e  

d) A =     x + y \ 3   x   ∈ Z - – É um anel de integridade

e) A =     x + y \ 3 , y   ∈ Q -   É     u m   a n e l   d e   i n t e g r i d a d e  

f) A =   {   a + b \ 2 + c \ 5 + d \ 10   | a , b , c , d   ∈ Z } - É um anel de integridade