Considere u = 1 ,   1   , 1   ,   1   e v = - 2 ,   2   ,   - 2 ,     3  

(a). u = ____

(b). u v = _____

(c). d u , v = _______

(d). w = _____ se w tem mesma direção que u e é unitário.

Passo 1

E aí galera tudo bem com vocês?

Seguinte meus amiguinhos de viajem, para resolver cada item dessa questão devemos ter o conhecimento de que no item (a) devemos determinar o comprimento do vetor para isso devemos nos entender que pode ser dado por u = u 1 2 + u 2 2 + … + u n 2

Assim podemos substituir os valores de u e descobrir seu comprimento, vamos lá fazer isso loooogo!

u = 1 2 + 1 ² + 1 ² + 1 ² = 4 = 2

Bora descobri o item (b) meus lindos!

Passo 2

Galera para descobrir o item (b). trata-se de um produto interno entre os vetores u   e v , para isso devemos utilizar a definição 5.1; onde

u v =   x , y , z v 1 , v 2 , v 3 =   x v 1 + y v 2 + z v 3

Joga os valores ai e corre pro abraço, ops não esqueçam que u = 1 ,   1   , 1   ,   1   e

v = - 2 ,   2   ,   - 2 ,     3

Substitui as paradas e VAPU!

u v =   1 ,   1   , 1   ,   1 - 2 ,   2   ,   - 2 ,     3 =     x v 1 + y v 2 + z v 3

u v =   1 ∙ - 2 + 1   ∙ 2 + 1 ∙ - 2 + 1   ∙ (   3 )  

u v =   1 ∙ - 2 + 1   ∙ 2 + 1 ∙ - 2 + 1   ∙   3

u v =   - 2 + 2 - 2 + 3

u v =   1

BORA! Para o item (c)

Passo 3

No Item (c) devemos determinar a distância entre os vetores u e v ,   ela definição d u , v =   u - v

Substitui os valores

d u , v =   1 ,   1   , 1   ,   1 - - 2 ,   2   ,   - 2 ,     3  

d u , v =   1 - - 2 ;   1 - 2   ; 1 - - 2 ;   1 - 3

d u , v =   3 ;   - 1 ; 3 ; - 2 = 3 2 + - 1 2 + 3 2 + ( - 2 ) ² = 9 + 1 + 9 + 4 = 23

BORA para o item (d).

Passo 4

Galera para o item (d) temos que seguir de acordo com o que foi dito no enunciado, w ^ = 1 ‖ u ‖ u .   Pela definição 5.5 (vetor unitário e normalização) diz-se que u ^ é unitário se ‖ w   ^ ‖ = 1

Podendo ser verificado se w ^ = 1 ‖ u ‖ u que tem a mesma direção e sentido de u .

Pessoal já sabemos que u = ±   2 .

Logo w ^ = 1 2 1 ,   1   , 1   ,   1 = 1 2 ,   1 2 , 1 2 , 1 2  

w ^ = - 1 2 1 ,   1   , 1   ,   1 = - 1 2 , -   1 2 , - 1 2 , - 1 2

Resposta

(a). 2

(b). 1

(c). 23

(d). 1 2 ,   1 2 , 1 2 , 1 2 ou - 1 2 , -   1 2 , - 1 2 , - 1 2