Considere os anéis Z   e   Z x Z . Verifique se são homomorfismo determine o núcleo.

a) f : Z x Z → Z x Z   d a d o   p o r   f x , y = ( 0 , y )

b) f : Z x Z → Z x Z   d a d o   p o r   f x , y = y

c) f : Z x Z → Z x Z   d a d o   p o r   f x , y = ( 2 x , 0 )

d) f : Z x Z → Z x Z   d a d o   p o r   f x , y = ( - x , - y )

e) f : Z x Z → Z x Z   d a d o   p o r   f x , y = ( 0 , x )

Passo 1

Saudações galera! Tudo bem?

Antes de resolver essa questão vamos só lembrar de um detalhe!

De acordo com a definição para uma função ser considerada homomorfismo deve obedecer que:

a )   f ( a + b )   =   f ( a ) + f ( b )

b ) f ( a b ) =   f ( a ) f ( b )

c ) f ( 1 r ) =   1 s

Acho que estamos prontos para começar, vamos nessa!

Passo 2

Considerando f : Z x Z → Z x Z   d a d o   p o r   f x , y = ( 0 , y )

Aplicando a definição temos que:

a )   f x + y =   f x + f y   ≠ 0 + y

Como a primeira condição não foi obedecida não é homomorfismo

Passo 3

Considerando f : Z x Z → Z x Z   d a d o   p o r   f x , y = y

Aplicando a definição temos que:

a )   f x + y =   f x + f y   ≠ y

Como a primeira condição não foi obedecida não é homomorfismo

Passo 4

Considerando : Z x Z → Z x Z   d a d o   p o r   f x , y = ( 2 x , 0 )

Aplicando a definição temos que:

a )   f 2 x + 0 =   f 2 x + f 0  

b ) f 2 x . 0 =   f 2 x f 0 = 0  

Como a segunda condição não foi obedecida não é homomorfismo

Passo 5

Considerando f : Z x Z → Z x Z   d a d o   p o r   f x , y = ( - x , - y )

Aplicando a definição temos que:

a )   f - x - y =   f - x + f - y  

b ) f x y =   f - x f - y

c ) f ( 1,1   ) = ( - 1 , - 1 )

Como a terceira condição não foi obedecida não é homomorfismo

Quase acabando!

Passo 6

Considerando f : Z x Z → Z x Z   d a d o   p o r   f x , y = ( 0 , x )

Aplicando a definição temos que:

a )   f 0 + x   =   f 0 + f x  

b ) f x . 0 =   f 0 f - x = 0  

Como a segunda condição não foi obedecida não é homomorfismo

Resposta

Todas as alternativas não configuram homomorfismo