1 Considere T(x, y) = (−3x + 4y, 2y − x). É autovetor de T:

  1. 4 1 ?
  2. 0 0 ?
  3. 1 2 ?
  4. 1 1 ?

Passo 1

Primeiramente, devemos relembrar a definição de Autovetor e Autovalor:

Seja A uma matriz n x n. Define-se como autovetor de A, um vetor v não-nulo, pertencente ao Rn, onde o produto A.v é um múltiplo escalar de v. Ou seja,

A v = v

O escalar que satisfaz a equação acima é o autovalor da matriz A

Relembrou?!

Transformaremos, então, a equação em uma matriz:

- 3 4 - 1 2

Passo 2

Nesse passo encontraremos os autovalores de T.

Tendo a matriz, devemos resolver a equação característica det A - λ I = 0

Logo, temos: A - λ I = - 3 4 - 1 2 - λ 1 0 0 1 = - 3 - λ 4 - 1 2 - λ

Como det A - λ I = 0   teremos:

- 3 - λ 2 - λ - - 4 = 0

- 6 + 3 λ - 2 λ + λ 2 + 4 = 0

λ 2 + λ - 2 = 0

λ = - 2 λ = 1

Encontramos assim, os autovalores de T.

Passo 3

Para cada autovalor encontrado, resolvemos o sistema linear (A – I)v = 0:

(A – I)v = 0 para o autovalor 1 teremos:

A - λ I v = 0

- 3 - 1 4 - 1 2 - 1 ⋅ x y = 0 0

- 4 4 - 1 1 ⋅ x y = 0 0

- 4 x + 4 y = 0 - x + y = 0

- 5 x = - 5 y x = y

(A – I)v = 0 para o autovalor -2 teremos:

- 3 - ( - 2 ) 4 - 1 2 - ( - 2 ) ⋅ x y = 0 0

- 1 4 - 1 4 ⋅ x y = 0 0

- x + 4 y = 0 - x + 4 y = 0

- 2 x = - 8 y x = 4 y

Passo 4

Devemos analisar cada opção.

Vemos que a letra A, é possível, pois 4=4x1

A letra B não é possível, pois não se enquadra em nenhuma das hipóteses.

A letra C também não é possível pois o vetor deve ser não nulo.

A letra D também é possível, pois 1=1.

Resposta

(a) sim; (b) não; (c) não; (d) sim;