1 Considere T(x, y) = (−3x + 4y, 2y − x). É autovetor de T:
- ?
Passo 1
Primeiramente, devemos relembrar a definição de Autovetor e Autovalor:
Seja A uma matriz n x n. Define-se como autovetor de A, um vetor v não-nulo, pertencente ao Rn, onde o produto A.v é um múltiplo escalar de v. Ou seja,
A v = v
O escalar que satisfaz a equação acima é o autovalor da matriz A
Relembrou?!
Transformaremos, então, a equação em uma matriz:
Passo 2
Nesse passo encontraremos os autovalores de T.
Tendo a matriz, devemos resolver a equação característica det
Logo, temos:
Como det teremos:
Encontramos assim, os autovalores de T.
Passo 3
Para cada autovalor encontrado, resolvemos o sistema linear (A – I)v = 0:
(A – I)v = 0 para o autovalor 1 teremos:
(A – I)v = 0 para o autovalor -2 teremos:
Passo 4
Devemos analisar cada opção.
Vemos que a letra A, é possível, pois 4=4x1
A letra B não é possível, pois não se enquadra em nenhuma das hipóteses.
A letra C também não é possível pois o vetor deve ser não nulo.
A letra D também é possível, pois 1=1.
Resposta
(a) sim; (b) não; (c) não; (d) sim;