Considere a base: β 1 =   1 , x   de P 1 e a base β 2 = 1 , x , x 2 de P 2 . Seja T : P 2 → P 2 , definida por T p x = p ( x + 1 ) , e S : P 1 → P 2 , definida por S p x = x p ( x ) .

Determine:

a S β 2 ← β 1 ;

b T β 2 ← β 2 .

Passo 1

Olha a resolução do item (a) aí pessoal!!! Como estão suas forças?

Bora para mais uma questão?

Seguinte, vamos determinar S β 2 ← β 1 , para isso, vamos utilizar primeiro o domínio que é a base β 1 =   1 , x e contradomínio que se trata da base β 2 = 1 , x , x 2 .

Olha galera, que é uma transformação de S : P 1 → P 2 , que S   é definida por S p x = x p ( x ) .

Nesse caso devemos determinar os elementos da transformação de forma individual na de acordo com o domínio na base β 1 :

Portanto

Onde

p = 1 → S β 1 = x ∙ 1 = x

Analisando para a base β 2 , teremos

x = a ∙ 1 + b ∙ x + c ∙ x ²

Associando os valores,

a ∙ 1 = 0 → a = 0

b ∙ x = x → b = 1

c ∙ x 2 = 0 → c = 0

Se p = x → S β 1 = x ∙ x = x ²

x ² = f ∙ 1 + g ∙ x + h ∙ x ²

De novo associando, teremos

f ∙ 1 = 0 → f = 0

g ∙ x = 0 → g = 0

h ∙ x 2 = x ² → h = 1

Não esqueçam que encontramos as matrizes colunas do que procuramos daí “devemo ajuntar tuduuu e corre pro abraço”

S β 2 ← β 1 = 0 1 0         0 0 1

Passo 2

Galera vamos para o item (b).

Uma vez entendendo tudo no item (a), o (b) fica “mamão com a açúcar” (facim... facim) basta repetir os mesmos procedimentos, mas agora com uma única base que é a β 2 .

Simbora

p = 1 → T β 2 = p x + 1 = 1

Analisando para a base β 2 , teremos

1 = a ∙ 1 + b ∙ x + c ∙ x ²

Associando os valores,

a ∙ 1 = 1 → a = 1

b ∙ x = 0 → b = 0

c ∙ x 2 = 0 → c = 0

Se p = x → T p x = p x + 1 = x + 1

x + 1 = f ∙ 1 + g ∙ x + h ∙ x ²

De novo associando, teremos

f ∙ 1 = 1 → f = 1

g ∙ x = x → g = 1

h ∙ x 2 = 0 → h = 0

Se p = x → T p x = p x + 1 = x + 1

x + 1 = f ∙ 1 + g ∙ x + h ∙ x ²

De novo associando, teremos

f ∙ 1 = 1 → f = 1

g ∙ x = x → g = 1

h ∙ x 2 = 0 → h = 0

Se p = x + 1

T p x = p x + 1

= ( x + 1 ) ² =   x ²   +   2   x + 1

s ó   p a r a   d a r   c e r t o   d e   n o v o ,   v a m o s   f a z e r   a s   c o m b i n a ç õ e s  

x ²   +   2   x + 1 = i ∙ 1 + j ∙ x + k ∙ x ²

De novo associando, teremos

i ∙ 1 = 1 → i = 1

j ∙ x = 2 x → j = 2

k ∙ x 2 = x ² → k = 1

Galera, agora “ajunta tuduuu” e corre pro abraço,

T β 2 ← β 2 = 1 1 1 0 1 2 0 0 1

Resposta

(a) S β 2 ← β 1 = 0 1 0         0 0 1

(b) T β 2 ← β 2 = 1 1 1 0 1 2 0 0 1 .