Considere as bases do P_1 : alpha = {1 - x , 2 x} ; beta = {1 + x , x} e do P_2 : gamma = {1 , x , x^2} e delta = {1 + x , 1 - x , x^2 + 1} . Determine [ I ]_alpha larr beta e [ I ]_gamma larr delta .

Passo 1

olá galera!!! Olha nós aqui de novo

Pessoal vamos logo para o que interessa, nessa questão ela nos dá várias bases, para isso vamos encontrar rapidinho as matrizes referentes a cada uma delas, olha só:

alpha = [1 - x 2 x] = [1 - 1 0 2] * [x^0 x]

beta = [1 + x x] = [1 1 0 1] * [x^0 x]

gamma = [1 0 0 0 x 0 0 0 x^2] = [1 0 0 0 1 0 0 0 1] * [x^0 x x^2]

delta = [1 x 0 1 - x 0 1 0 x^2] = [1 1 0 1 - 1 0 1 0 1] * [x x x^2]

Olha só para determinar as mudanças de bases, vamos utilizar essa definição.

Definição 4.52 (matriz mudança de base) Para a matriz de mudança devemos considerar as de base beta e gamma do espaço de dimensão finita U e a T L identidade I em U . Como

[I]_gamma larr beta [u]_beta = [I ( u )]_gamma = [u]_gamma

A matriz [I]_gamma larr beta transforma as coordenadas u na base beta em coordenadas de u na base gamma pela definição beta = { u_1 , ... , u_n } ,

[I]_gamma larr beta = [uarr uarr [I (u_1)]_gamma cdots [I (u_n)]_gamma darr darr] = [uarr uarr [(u_1)]_gamma cdots [(u_n)]_gamma darr darr]

Olha que esse termo [I (u_1)]_gamma é um vetor coluna na base alpha :

[I (u_1)]_gamma = [a b]

Para isso, vamos utilizar {u_1} = [I (u_1)]_gamma * gamma

Passo 2

Bora lá

Vamos admitir que beta = [1 1 0 1] = { (1 , 1) ; (0 , 1) }

Assim;

[I]_alpha larr beta = [uarr uarr [I (u_1)]_alpha [I (u_2)]_alpha darr darr] = [uarr uarr [(1 , 1)]_alpha [((0 , 1))]_alpha darr darr]

Olha que interessante que esse termo [I (u_1)]_alpha é um vetor coluna na base alpha :

[I (u_1)]_alpha = [a b]

Para isso, vamos utilizar {u_1} = [I (u_1)]_alpha * alpha

(1 , 1) = [a b] * [(1 , - 1) ; (0,2)]

(1 , 1) = a * (1 , - 1) + b * (0,2)

Olha que nós podemos extrair um sistema

{ a = 1 - a + 2 b = 1

De maneira rápida! a = 1 e b = 1

De maneira análoga

(0 , 1) = [x y] * [(1 , - 1) ; (0,2)]

(0 , 1) = x (1 , - 1) + y (0,2)

Olha o sistema de novo

{ x = 0 - x + 2 y = 1

De maneira rápida de novo! x = 0 e y = (1)/(2)

Portanto;

[I]_alpha larr beta = [1 0 1 (1)/(2)]

Passo 3

Para determinar a mudança de base [ I ]_gamma larr delta é mais fácil, pois a base gamma trata-se de uma base canônica e aplicando a mesma definição.

Vamos admitir que delta = [1 1 0 1 - 1 0 1 0 1] = [ (1 , 1 , 0) ; (1 , - 1 , 0) ; (1 , 0 , 1) ]

[ I ]_gamma larr delta = [uarr uarr [I (u_1)]_ gamma [I (u_2)]_ gamma darr darr] = [uarr uarr [(1 , 1 , 0)]_ gamma [(1 , - 1 , 0)]_ gamma darr darr uarr [(1 , 0 , 1)]_ gamma darr]

Não precisa fazer tudo o que foi feito no passo anterior, basta torna-las uma matriz coluna, por que gamma é uma base canônica

Portanto:

[ I ]_gamma larr delta = [1 1 1 1 - 1 1 0 0 1]

É isso galera!

Nos vemos na próxima

Resposta

[ I ]_gamma larr delta = [1 1 1 1 - 1 1 0 0 1]

[ I ]_gamma larr delta = [1 1 1 1 - 1 1 0 0 1]