Considere as bases de R 3 : α = {(1, 0, −1), (1, 2, 3), (1, 1, 1)}, β = {(3, 2, 1), (4, 5, 6), (7, 8, 9)} ε = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} (base canônica).

(b) escreva equações matriciais que determinem, como função de A ,   B ,   A - 1   ,   B - 1 (não calcule A 1   ,   B - 1   ) as matrizes mudança de base [I]α←ε , [I]β←ε , [I]α←β , [I]β←α .

Passo 1

O nosso primeiríssimo passo é entender o que esse enunciado danado tá querendo, olha só!!

A ideia é fazer mudança de base em função de A ,   B ,   A - 1   ,   B - 1 , mas pera lá, a gente já sabe do item A) da questão que:

A   =   [ I ] ε ← α     e   B   =   [ I ] ε ← β

Ou sejaaaa, quando o item B) pede qual a equação matricial de [I]α←ε estamos LITERALMENTE procurando o inverso de A, portanto:

I α ← ε =     I ε ← α     - 1 = A - 1

Passo 2

Vamos continuar esse raciocínio para resolver o restante com 0 cálculos ;)

Logo, podemos afirmar que

I β ← ε =     I ε ← β     - 1 = B - 1

Passo 3

E por fim:

I α ← β =   A - 1 B

E

I β ← α =   B - 1 A

Prontinho, marujo! Topa resolver outra questãozinha?

Resposta

I α ← ε = A - 1       ;       I β ← ε = B - 1       ;       I α ← β =   A - 1 B