Considere as bases de R 2 : ∝   = 6 ,   11 ;   2 ;   4 , ε = { 1 ,   0 ; 0 ,   1 } .

  1. Calcule a matriz mudança de base I   ε ← ∝ .

Passo 1

E aí galera!!! Bora para mais uma questão nela devemos utilizar a Definição 4.52 (matriz mudança de base). Para a matriz de mudança devemos considerar as de base e do espaço de dimensão finita U e a TL identidade I em U. Como 

I γ ← β u β = I ( u ) γ = u γ

A matriz I γ ← β transforma as coordenadas u na base   β em coordenadas de u na base γ pela definição onde β =   { u 1 ,   … , u n } ,

I γ ← β = ↑ ↑ I u 1 γ ⋯ I u n γ ↓ ↓ = ↑ ↑ u 1 γ ⋯ u n γ ↓ ↓

Galera se não entendeu nada;

Em outras palavras, basta entender que I γ ← β é a matriz de mudança de base β para γ.

I γ ← β = a c b d

[ v 1 ] γ [ v 2 ] γ

Observe que

[ v 1 ] γ =   a b [ v 2 ] γ =   c d

Assim, [ v 1 ] γ e [ v 2 ] γ , são vetores que coordenada na γ .

Passo 1

Primeiro faremos o seguinte, devemos descobrir I   ε ← ∝ onde é a matriz mudança de base   ∝ para ε , como os elementos de ∝   = 6 ,   11 ;   2 ;   4 , daqui poderemos extrair os elementos.

São vetores de base β

I u 1 = [ I 6 ,   11 ] e I u 2 = [ I 2 ;   4 ]

Agora devemos determinar I ∝   ← β que representa a mudança de base em de ∝   = 6 ,   11 ;   2 ;   4 .

[ I ( u 1 ) ] ∝   = [ I 6 ,   11 ] = a   1 ,   0 + b 0 ,   1

6 ,   11 = a ; b

Logo, podemos determinar os valores dos elementos da matriz a e b , onde a   =   6 e b   =   11

Fazendo o mesmo procedimento para I u 2 = [ I 0 ;   2 ]

I u 2 = I 2 ;   4 = c 1 ,   0 + d 0 ,   1

2 ;   4 = c ; d

Logo, podemos determinar os valores dos elementos da matriz c e d ,

De uma maneira rápida obtemos c   =   2 e d =   4

Portanto a matriz de mudança de base

I   β ← ∝ = 6 2 11 4

Resposta

I   β ← ∝ = 6 2 11 4