Considere as bases de R 2 : ∝   = 1 ,   0 ;   0 ;   2 , β   = { 1 ,   1 ; 2 ,   1 . Calcule a matriz mudança de base I   β ← ∝

Passo 1

E aí galera!!! Bora para mais uma questão devemos utilizar a Definição 4.52 (matriz mudança de base). Para a matriz de mudança devemos considerar as de base e do espaço de dimensão finita U e a TL identidade I em U. Como 

I γ ← β u β = I ( u ) γ = u γ

A matriz I γ ← β transforma as coordenadas u na base   β em coordenadas de u na base γ pela definição β =   { u 1 ,   … , u n } ,

I γ ← β = ↑ ↑ I u 1 γ ⋯ I u n γ ↓ ↓ = ↑ ↑ u 1 γ ⋯ u n γ ↓ ↓

Galera se não entendeu nada;

Em outras palavras, basta entender que I γ ← β é a matriz de mudança de base β para γ.

I γ ← β = a c b d

[ v 1 ] γ [ v 2 ] γ

Observe que

[ v 1 ] γ =   a b [ v 2 ] γ =   c d

Assim, [ v 1 ] γ e [ v 2 ] γ , são vetores que coordenada na γ .

Passo 1

Primeiro faremos o seguinte, devemos descobrir I   β ← ∝ onde é a matriz mudança de base   ∝ para β , como os elementos de ∝   = 1 ,   0 ;   0 ;   2 , daqui poderemos extrair os elementos.

São vetores de base β

I u 1 = [ I 1 ,   0 ] e I u 2 = [ I 0 ;   2 ]

Agora devemos determinar I ∝   ← β que representa a mudança de base em ∝   = 1 ,   0 ;   0 ;   2

[ I ( u 1 ) ] ∝   = [ I 1 ,   0 ] = a   1,1 + b ( 2 ,   1 )

1 ,   0 = a + 2 b ; a + b

Logo, podemos determinar os valores dos elementos da matriz a e b , através do sistema retirado dos vetores;

a + 2 b = 1 a + b = 0

De uma maneira rápida obtemos a   =   - 1 e b =   1

Fazendo o mesmo procedimento para I u 2 = [ I 0 ;   2 ]

I u 2 = I 0 ;   2 = c 1,1 + d ( 2 ,   1 )

0 ;   2 = c + 2 d ; c + d

Logo, podemos determinar os valores dos elementos da matriz a e b , através do sistema retirado dos vetores;

c + 2 d = 0 c + d = 2

De uma maneira rápida obtemos c   =   4 e d =   - 2

Portanto a matriz de mudança de base

I   β ← ∝ = - 1 4 1 - 2

Resposta

I   β ← ∝ = - 1 4 1 - 2