Considere as bases de beta = {(1 , 0 , 0) ; (0 ; 1 ; - 1) ; (1 ; - 1 ; 0)} .

  1. Calcule [I]_epsilon larr beta e [I]_ beta larr epsilon

Passo 1

E aí galera!!! Bora para mais uma questão.

Galera, precisamos determinar a essas matrizes e devemos utilizar a Definição 4.52 (matriz mudança de base). Para a matriz de mudança devemos considerar as de base e do espaço de dimensão finita U e a TL identidade I em U. Como 

[I]_gamma larr beta [u]_beta = [I ( u )]_gamma = [u]_gamma

A matriz [I]_gamma larr beta transforma as coordenadas u na base beta em coordenadas de u na base gamma = { z_1 , ... , z_n } pela definição beta = { u_1 , ... , u_n } ,

[I]_gamma larr beta = [[[uarr,uarr],[[I (u_1)]_gamma,cdots,[I (u_n)]_gamma],[darr,darr]]] = [[[uarr,uarr],[[(u_1)]_gamma,cdots,[(u_n)]_gamma],[darr,darr]]]

Galera se não entendeu nada;

Em outras palavras, basta entender que [I]_gamma larr beta é a matriz de mudança de base beta para γ.

[I]_gamma larr beta = [[[a,c],[b,d]]]

[ v_1 ]_gamma [ v_2 ]_gamma

Observe que

[ v_1 ]_gamma = [[[a],[b]]] [ v_2 ]_gamma = [[[c],[d]]]

Assim,

[ v_1 ]_gamma e [ v_2 ]_gamma , são vetores que coordenada na base gamma .

Passo 2

Primeiro faremos o seguinte, é importante notar que a questão deixou a base epsilon para isso vamos ter que adotar como sendo uma base canônica epsilon = {(1 , 0 , 0) ; (0 ; 1 ; 0) ; (0 , 0 , 1)} .

Então para descobrir [I]_epsilon larr beta onde é a matriz mudança de base beta para epsilon , como os elementos de beta = {(1 , 0 , 0) ; (0 ; 1 ; - 1) ; (1 ; - 1 ; 0)} , daqui poderemos extrair os elementos.

São vetores de base beta

I (u_1) = [ I (1 , 0 , 0) ] , I (u_2) = [ I (0 ; 1 ; - 1) ] e I (u_3) = [ I (1 ; - 1 ; 0) ]

Agora devemos determinar [I]_epsilon larr beta que representa a mudança de base para epsilon = {(1 , 0 , 0) ; (0 ; 1 ; 0) ; (0 , 0 , 1)}

[ I ( u_1 ) ]_epsilon = [I (1 , 0 , 0)] = a (1 , 0 , 0) + b (0 ; 1 ; - 1) + c (1 ; - 1 ; 0)

(1 , 0 , 0) = (a + c ; b - c ; - b)

Logo, podemos determinar os valores dos elementos da matriz a e b , através do sistema retirado dos vetores;

{[[a + c = 1],[b - c = 0],[- b = 0]])

De uma maneira rápida obtemos a = 1 , b = 0 c = 0

Fazendo o mesmo procedimento para I (u_2) = [ I (0 ; 1 ; - 1) ]

[ I ( u_2 ) ]_epsilon = [I (0 ; 1 ; - 1)] = d (1 , 0 , 0) + e (0 ; 1 ; - 1) + f (1 ; - 1 ; 0)

(0 ; 1 ; - 1) = (d + f ; e - f ; - e)

Logo, podemos determinar os valores dos elementos da matriz a e b , através do sistema retirado dos vetores;

{[[d + f = 0],[e - f = 1],[- e = - 1]])

Daí devemos repetir o mesmo procedimento para obtermos a d = 0 , e = 1 e f = - 1

Fazendo o mesmo procedimento para I (u_2) = [ I (1 ; - 1 ; 0) ]

[ I ( u_2 ) ]_epsilon = [I (0 ; 1 ; - 1)] = d (1 , 0 , 0) + e (0 ; 1 ; - 1) + f (1 ; - 1 ; 0)

(0 ; 1 ; - 1) = (d + f ; e - f ; - e)

Logo, podemos determinar os valores dos elementos da matriz a e b , através do sistema retirado dos vetores;

{[[d + f = 0],[e - f = 1],[- e = - 1]])

Daí devemos repetir o mesmo procedimento para obtermos a d = 0 , e = 1 e f = - 1

Fazendo o mesmo procedimento para I (u_2) = [ I (1 ; - 1 ; 0) ]

d I (u_3) = [ I (1 ; - 1 ; 0) ] = g (1 , 0 , 0) + h (0 ; 1 ; - 1) + i (1 ; - 1 ; 0)

(0 ; 1 ; - 1) = (g + i ; h - i ; - i)

Logo, podemos determinar os valores dos elementos da matriz a e b , através do sistema retirado dos vetores;

{[[g + i = 1],[h - i = - 1],[- i = 0]])

Daí devemos repetir o mesmo procedimento para obtermos a g = 1 , h = - 1 e i = 0

PRONTO! Daí, podemos determinar a matriz [I]_epsilon larr beta .

[I]_epsilon larr beta = [[[1,0,1],[0,1,-,1],[0,-,1,0]]]

Agora para de terminar a sua inversa basta utilizar a [ I ]_(beta larr epsilon)^(- 1) , basta utilizar o Corolário 4.54 (inversa da mudança de base) onde poderemos encontrar os suas inversas, para isso Considerando as bases beta e epsilon de U e a TL identidade I em U . Então a matriz mudança de base [I]_epsilon larr beta é igual a [ I ]_(beta larr epsilon)^(- 1) (inversa).

Assim se utilizarmos os mesmos procedimentos teremos a matriz

[I]_ beta larr epsilon = [[[1,1,1],[0,0,-,1],[0,-,1,-,1]]]

Então é isso galera! Nos vemos na próxima

Resposta

[I]_epsilon larr beta = [[[1,0,1],[0,1,-,1],[0,-,1,0]]]

[I]_ beta larr epsilon = [[[1,1,1],[0,0,-,1],[0,-,1,-,1]]]