Considere as bases de ∝   = 1 ,   1 ,   1 ;   - 1 ;   1 ;   1 ;   0 ; - 1 ;   1 ,     de R³. Determine uma base β tal que

I ∝   ← β = 1   0   0   2   - 1   1   0   0   1  

Passo 1

E aí galera!!! Bora para mais uma questão.

Sejam as bases β =   { x 1 , x 2 }   e   γ =   { z 1 , z 2 } , sendo que I γ ← β é a matriz de mudança de base β para γ.

I γ ← β = a   c   b   d  

[ v 1 β ] γ [ v 2 β ] γ

É importante notar que o papel dessa matriz é transformar as componentes de um vetor v na base β para a base γ .

Observe que

[ v 1 β ] γ =   a   b   [ v 2 β ] γ =   c   d  

Logo, é importante notar que v β é o vetor na base β , assim todo valor [ v 1 β ] γ pode ser dado por

x 1 , x 2 = a z 1 , 0 + b ( 0 , z 2 )

Se entenderam bem pessoal vamos lá para os cálculos

Passo 1

Primeiro faremos o seguinte, devemos entender que na matriz I ∝   ← β possuem vetores que já estão na base β , olha que é o vetor que devemos descobrir, então chamaremos a base no R³ de β = { ( x 1 , x 2 , x 3 ) , ( x 4 x 5 , x 6 ) , ( x 7 , x 8 , x 9 ) }

E extraindo os vetores da matriz os

I ∝   ← β = 1   0   0   2   - 1   1   0   0   1  

Onde;

[ v 1 β ] γ =   1   2   0   [ v 2 β ] γ =   0   - 1   0   [ v 3 β ] γ =   0   1   1  

[ v 1 β ] α onde é o vetor v de mudança da base β para a base α

Assim, para [ v 1 β ] α podemos determinar a primeira parte da base β

( x 1 , x 2 , x 3 ) = 1 1 ,   1 ,   1 + 2 - 1 ;   1 ;   1 + 0 0 ; - 1 ;   1

( x 1 , x 2 , x 3 ) = 1 ,   1 ,   1 + 2 - 2 ;   2 ;   2

( x 1 , x 2 , x 3 ) = - 1 ;   3 ;   3

Fazendo do mesmo jeito a segunda parte

x 4 x 5 , x 6 = 0 1 ,   1 ,   1 - 1 - 1 ;   1 ;   1 + 0 0 ; - 1 ;   1

x 4 x 5 , x 6 = 1 ;   - 1 ; -   1

De maneira análoga bora para a última

x 7 , x 8 , x 9 = 0 1 ,   1 ,   1 + 1 - 1 ;   1 ;   1 + 1 0 ; - 1 ;   1

x 7 , x 8 , x 9 = - 1 ;   1 ;   1 + 0 ; - 1 ;   1

x 7 , x 8 , x 9 = - 1 ;   0 ;   2

portanto; β = { - 1 ;   3 ;   3 ; 1 ;   - 1 ; -   1 ; - 1 ;   0 ;   2 }

É isso aí,

Resposta

β = { - 1 ;   3 ;   3 ; 1 ;   - 1 ; -   1 ; - 1 ;   0 ;   2 }