Considere o conjunto E = {x ∈ Z | |0 ≤ x ≤ 10} e sobre ele a relação de congruência módulo 4, que é de equivalência.

a) Descreva as classes de equivalência 0 - e 1 - .

b) Descreva o conjunto-quociente E/R.

Passo 1

Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso de algelin!

  1. Precisamos determinar o conjunto solução da equação dada no enunciado sobre E,

x ≡ 0   m o d   4

Os únicos valores que podem satisfazer a equação, ou seja, números que dão resto 0 quando divididos por 4, são 0, 4 e 8, visto que x está entre 0 e 10:

0 - 0 = 0 → 0 | 4 então 0 ≡ 0   ( m o d   4 ) ;

4 - 0 = 4 → 4 | 4 então 4 ≡ 0   ( m o d   4 ) ;

8 - 0 = 8 → 8 | 4 então 8 ≡ 0   ( m o d   4 ) ;

Portanto, 0 - = { 0,4 , 8 } , e da mesma forma para 1 - , podemos concluir que 1 - = { 1,5 , 9 } .

Passo 2

  1. Como E = x ∈ Z   0   ≤   x   ≤   10 } então os elementos de E são números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

Por definição o conjunto quociente é o conjunto das classes de equivalência de cada um dos elementos de E, contudo, o número maior do que quatro não pode participar como resto, como o resto vai ser maior que o divisor? Impossível né, por isso nós só teremos:

0 - = x ∈ E     x ≡ R   ( m o d 4 ) } = { 0,4 , 8 } ;

1 - = x ∈ E     x ≡ R   ( m o d 4 ) } = { 1,5 , 9 } ;

2 - = x ∈ E     x ≡ R   ( m o d 4 ) } = { 2 , 6 , 10 } ;

3 - = x ∈ E     x ≡ R   ( m o d 4 ) } = { 3 , 7 } .

Então E/R = 0,4 , 8 , 1,5 , 9 , 2,6 , 10 , 3 , 7 .

Resposta

  1. 0 - = { 0,4 , 8 } , 1 - = { 1,5 , 9 } .
  2. E/R = 0,4 , 8 , 1,5 , 9 , 2,6 , 10 , 3,7 .