Considere os conjuntos LIs de funções: β 1 =   c o s c o s   x   , s e n x ;   β 2 = ⅇ x , ⅇ 2 x ; β 3 = 1 , x , ⅇ x , x ⋅ ⅇ x ;

β 4 = 1 , x , x 2 ;   β 5 = x   , 2 x   , 3 x   ;

β 6 = ⅇ x , x ⋅ ⅇ x , x 2 ⅇ x

Seja W i =   〈 β i 〉 (espaço gerado por cada conjunto de funções). Sejam D o operado derivada D f   =   f ’ com D :   W i → W i e D ² o operador derivada segunda D ² f   = f ’ ’ com D ² : W i → W i . Determine a matriz:

e   [ D ² ] β 5

Passo 1

E ai galera tudo bem com vocês? Bora para mais questão quentinha!!!

Meus lindos!!! Nessa questão precisaremos determinar as derivadas das funções vetoriais e depois produzir a matriz coluna da base β 5   referente a cada termo da derivada.

Se liga que vamos utilizar fazer as associações vetoriais para isso!

Olha o exemplo:

x + 8 = a 2 + b x + c x 2

Logo; a ( 2 )   =   8   ; b x = x e c x ²   =   0 : Assim, a   =   4 ,   b = 1 e c   =   0

É ISSO!

Cuida que acabamos de começar!

Passo 2

Bora lá, primeiro vamos determinar a derivada segunda de β 5 = x   , 2 x   , 3 x  

D 5 =   c o s c o s   x   , 2 c o s c o s   2 x   , 3 c o s c o s   3 x  

D ² 5 = - x   , - 4 2 x   , - 9 3 x  

Para o primeiro elemento que é um vetor nulo

Simbora analisar o vetor

- x   = a ∙ x   + b ∙ 2 x   + c ∙ 3 x  

Foquem em associar os termos semelhantes

De maneira rápida!

a ∙ x   = x   → a = - 1

b ∙ 2 x   = 0 → b = 0

c ∙ 3 x   = 0 → c = 0

Portanto

[ - x   ] β 5 = - 1   0   0  

Passo 3

Agora vamos verificar o segundo elemento da derivada segunda

Simbora analisar o vetor

- 4 2 x   = a ∙ x   + b ∙ 2 x   + c ∙ 3 x  

Associando os termos semelhantes

De maneira rápida!

a ∙ x   = 0 → a = 0

b ∙ 2 x   = - 4 2 x   → b = - 4

c ∙ 3 x   = 0 → c = 0

Portanto

[ - x   ] β 5 = 0   - 4   0  

Passo 4

Agora vamos verificar o segundo elemento da derivada segunda

Simbora analisar o vetor

- 9 3 x   = a ∙ x   + b ∙ 2 x   + c ∙ 3 x  

Associando os termos semelhantes

De maneira rápida!

a ∙ x   = 0 → a = 0

b ∙ 2 x   = 0 → b = 0

c ∙ 3 x   = - 9 3 x   → c = - 9

Portanto

[ - x   ] β 5 = 0   0   - 9  

É isso galera!!!

Agora “ajunta tudu” e faz a parada da matriz que queremos

[ D ² ] β 5 = - 1   0   0   0   - 4   0   0   0   - 9  

Resposta

[ D ² ] β 5 = - 1   0   0   0   - 4   0   0   0   - 9