Considere os conjuntos LIs de funções: β 1 =   c o s c o s   x   , s e n x ;   β 2 = ⅇ x , ⅇ 2 x ; β 3 = 1 , x , ⅇ x , x ⋅ ⅇ x ;

β 4 = 1 , x , x 2 ;   β 5 = x   , 2 x   , 3 x   ;

β 6 = ⅇ x , x ⋅ ⅇ x , x 2 ⅇ x

Seja W i =   〈 β 1 〉 (espaço gerado por cada conjunto de funções). Sejam D o operado derivada D f   =   f ’ com D :   W i → W i e D ² o operador derivada segunda D ² f   = f ’ ’ com D ² : W i → W i . Determine a matriz:

b   [ D ] β 3

Passo 1

“minha nossa” bora para mais uma questãozinha!!!

Mermão! é nois na fita pivete!!!bora para a questão que é facim, facim!!!

Nela precisaremos determinar as derivadas das funções vetoriais e depois produzir a matriz coluna da base β 1 referente a cada termo da derivada.

Se liga que vamos utilizar fazer as associações vetoriais para isso!

Olha o exemplo:

x + 8 = a 2 + b x + c x 2

Logo; a ( 2 )   =   8   ; b x = x e c x ²   =   0 : Assim, a   =   4 ,   b = 1 e c   =   0

É ISSO!

Cuida que acabamos de começar!

Passo 2

Bora lá, primeiro vamos determinar a derivada de β 3 = 1 , x , ⅇ x , x ⋅ ⅇ x

D 2 =   0 ,   1 ,   ⅇ x   ,   ⅇ x + x ⅇ x

Para o primeiro elemento que é um vetor nulo

D 0 = 0   e   [ 0 ] β 3 = 0   0     0     0   ;

D x = 1 ;

Analisando,

1 = a ∙ 0 + b ∙ x + c ∙ ⅇ x   + d ∙ x ∙ ⅇ x  

De maneira rápida!

a ∙ 0 = 0 → a = 0

b ∙ x = 1 → b = 1

c ∙ ⅇ x   = 0 → c = 0

d ∙ x ∙ ⅇ x   = 0 → d = 0

Portanto;

[ 1 ] β 3 = 0   1     0     0  

De maneira análoga, vamos repetir para os outros termos

D ⅇ x = ⅇ x   →   [ ⅇ x ] β 3 = 0   0     1     0  

D ⅇ x = ⅇ x + x ⅇ x   →   [ ⅇ x + x ⅇ x ] β 3 = 0   0     1     1  

Daí, junta as paradas e perte para o abraço

[ D ] β 3 = 0   1   0   0   0   0   0   0   0   0   1   1   0   0   0   1  

É isso galera!

Nos vemos na próxima

Resposta

[ D ] β 3 = 0   1   0   0   0   0   0   0   0   0   1   1   0   0   0   1